单墫老师的书,是许多数学爱好者,尤其是关注数学竞赛的人,是必备之书。本书是单墫老师的新力作。其轻快的文风,亦师亦友的叙述方式,使得令人生畏的数学解题变得轻松有趣起来。
这本《解题漫谈》与已出版的《解题研究》、《我怎样解题》,属于解题系列,精神是一致的:以自己解过的题为例子,加以分析与讨论,着重描述探究的过程,阐述我们怎样解题。
本书分为三个部分:基础部分(60节),提高部分(48节),附录。
基础部分的问题,内容较浅,解法比较简单.提高部分,内容较深,解法比较复杂.附录搜集我在《学数学》杂志上发表的一些文章。
怎样提高解题能力?这是一个大家关心的问题。
首先,自己得解一定数量的题,其中有一些稍难的,需要动脑筋,不能依样画葫芦的题。
解题是一种实践性的智力活动,必须勤练才能娴熟,娴熟才能生巧。
有人说:“做了很多题,解题能力仍未提高。为什么?”
这多半是由于没有及时做好总结。
每次做完一道不太简单的题,一定要回顾一遍.弄清:需要哪些步骤?哪些是必须的?哪些是多余的(可以去掉)?哪些步骤是关键步骤?有无其它解法?能否解得更好?
这种总结工作,正是提高解题能力的最重要的一环。
如果有朋友在一起讨论更好。
最近在网上看到一个帖子,说不喜欢我,因为我“老是指出别人的解有错”,“说别人的解不好。”
我想了一想,的确写过几篇纠错的文章。但数学是一门科学.科学就要求真,就要纠错。
钥匙不仅要明辨是非,弄清对错,还应当精益求益,寻求最佳的解法,只有这样,解题能力才能得到提高。
所以我还得写一些文章,写一些书皮,谈解题中的问题。有错误就得纠正,有不妥就应当指出,这教师与人为善的态度。当然,不要进行人身攻击,贬低别人。好像打球,冲着球(问题)去,而不是冲着人去。
对于自己的错误,当然更不能宽容。写这本书颇费功夫,改了多次,反复琢磨能不能把解答做得更好一些。但现在年龄大了,精力不够,常有照顾不周的地方,请读者与朋友多加批评。
基础部分
基础部分的问题比较容易,乃至的知识较少(很多只需要实践的数学)。
基础极为重要.基础未打好就忙于提高,就如在沙滩上建筑高楼,也像楷书还未学好,就去写狂草,当然不易成功。据我观察,不少高三学生,实践基础并未打好。即使是参加竞赛的选手,也有一些人需要加固基础。
良好的解题习惯应当在打基础时养成(不良习惯也应在这时及早纠正)。
遇到问题,要认真读题,弄清已知与求证(或求),不仅要了解其意义,记在胸中,还要知道相关知识,如已知三角形是直角三角形,就应知道两个锐角互余,斜边中线是斜边的一边,勾股定理,…,如果求证四边形是平行四边形,就应考虑两组对边平行、两组对边相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分、……等有关的判定定理。
在这一部分,我们要介绍一些基本的技巧与手法,也介绍一些基本的解题方法。每道题都加以分析、讨论与总结。
1. 溶液浓度
问题:A瓶装180毫升浓度为35.5%的某种溶液,B瓶装120毫升浓度为67.2%的同种溶液。从A、B取出等量的溶液,然后分别倒入B、A.混合后两瓶溶液恰好相等。问各取出多少毫升溶液?
甲:这个浓度问题,我会做。
师:那你就做一做。
乙:这题我也会做。
师:我把数据改一改,35.5%、67.2%分别改为32.5%、58.4%.你做做看。
过了一会,两人都做好了。
甲:答案是72毫升。
乙:我的答案也是72毫升。
甲:题目数据不同,怎么答案恰好一样,太巧了。
师:看看你们怎么做的。
甲:我用算术方法。
乙:我用代数方法。
师:进入中学,用代数方法更多,我们先看看乙的做法。
乙:设各取出x毫升,则
(180-x)×35.5%+x·67.2%180=(120-x)×67.2%+x·35.5%120
然后去分母整理,最后得出结果。
甲:不见得比算术方法好。
乙:老师怎么做的?师:我的方法和你的差不多。同样设取出x毫升.但将题目中的数据改成字母:A瓶有a毫升浓度为p的溶液,B瓶有b毫升浓度为q的溶液(p≠q)。
甲:那么方程就是
(a-x)p+xqa=(b-x)q+xpb
去分母整理得
(a+b)(p-q)x=ab(p-q)
因为p≠q,所以
x=aba+b.(1)
在a=180,b=120时,x=72。
乙:这比数的计算简单。
甲:不论p、q为什么值,答案都是(1)。
师:代数就是用字母代替数.用字母代替数后,不但计算简单(避免了繁琐的数值计算),而且具有一般性,容易看到规律.学习代数后,就应当自觉地用字母代替数,力求得出一般的结果。
所谓好的解法,就是简单而又一般的解法。
评注:引入字母后,数学发生了巨大的变化。研究的对象不仅是数,而且还有字母。字母可以代表数(起初就是这样),也可以不代表数(比如代表向量、矩阵等等)。字母自成体系(或称为系统),可以有各种运算与规则(比如矩阵可以定义乘法,满足结合律,却不满足交换律)。
2. 力求简单
问题酒精与水的溶液中,酒精∶溶液总量=k∶m.如果再加x个单位的水或者去掉x个单位的酒精(x≠0),那么得到的酒精∶溶液总量的比都相同。求这新的比的数值。
师:还是浓度问题。
甲:不妨设原溶液中有k个单位酒精,(m-k)个单位水。由题意
km+x=k-xm-x(1)
去分母,整理得
x(x+m-2k)=0(2)
所以
x=2k-m(3)
代入(1)的左边得新比的值为
km+x=k2k=12
乙:我设新比为r,则
k=(m+x)r(4)
k=(m-x)r+x(5)
(4)-(5)得
2xr=x(6)
所以
r=12.
师:不求x,直接得出r。等二种解法稍简单一些。
甲:还有其它解法吗?
师:题意,在两种情况,酒精与溶液总量的比相等。其中第二种情比第一种,酒精少x个单位,水也少x个单位,即总量少2x个单位。如果将酒精为x个单位,溶液总量为2x个单位的溶液加到第二种情况的溶液中,那么就变为第一种情况,而浓度(酒精与溶液问题的比)不变。所以加入,浓度与它们也相同,即浓度为x2x=12。
乙:这种解法更加简单。
师:其实这种解法与你们的解法并无实质的差异,只不过省去了一些形式上的演算.但省去形式上的演算,更多地用脑思考,对发展思维能力是有益的。
很多数学会议休息时,数学家们边喝咖啡边讨论问题。这时不可能进行纸面上的演算,更需要直接剖析问题的本质。
数学家Erd s曾说:数学家是将咖啡转变成定理的机器”。