本书是作者根据多年从事高等代数与解析几何课程教学的经验编写而成的, 在编写中尽量站在学生的角度来合理地安排全书的结构体系, 将二次型及 其矩阵的特征值这一历史上的经典问题作为引入整个课程内容的一条叙述主 线, 真正将高等代数与解析几何有机地结合起来, 相得益彰. 本书对每一个重 要概念都尽可能地给出要引入的理由, 努力讲清楚抽象概念和理论的内涵(包括其思想来源与相关的几何意义等), 特别是对线性空间和线性变换这两个中 心概念就更是如此. 本书还比较细致地解说了各个主要定理的推理步骤, 并安 排了不少典型的例题和习题来指导学生理解和运用这些定理.
本书分上、下两册. 上册主要内容包括: 空间向量、平面与直线、矩阵 初步与 n 阶行列式、矩阵的秩与线性方程组、多项式、矩阵的相似与若尔 当标准形.

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目录
前言
第1章 空间向量、平面与直线 1
1.1 二阶与三阶行列式 1
1.1.1 二阶行列式 1
1.1.2 三阶行列式 4
1.1.3 三元齐次线性方程组 10
习题1.1 11
1.2 空间向量的线性运算 12
1.2.1 空间向量的加法与数乘 12
1.2.2 向量共线的条件 15
1.2.3 向量共面的条件 16
习题1.2 18
1.3 内积 20
1.3.1 内积及其主要性质 20
1.3.2 投影向量 23
习题1.3 25
1.4 外积与混合积 26
1.4.1 外积的定义与计算公式 26
1.4.2 外积的主要用途 28
1.4.3 混合积 30
1.4.4 双重外积 32
习题1.4 34
1.5 平面方程 35
1.5.1 平面方程的计算 35
1.5.2 平面束方法 39
1.5.3 点到平面的距离公式 40
1.5.4 平面作图 42
习题1.5 45
1.6 空间直线 46
1.6.1 直线标准方程的计算 46
1.6.2 空间直线的异面与相交 50
1.6.3 点到空间直线的距离公式 53
习题1.6 54
第2章 矩阵初步与n阶行列式 56
2.1 高斯消元法 56
2.1.1 数域和数学归纳法 56
2.1.2 高斯消元法中的初等变换 58
2.1.3 解线性方程组时遇到的三种情况 60
2.1.4 对线性方程组的增广矩阵进行初等变换 63
2.1.5 线性方程组的求解定理 68
习题2.1 70
2.2 矩阵的运算 71
2.2.1 各种特殊矩阵 72
2.2.2 矩阵的加法和数乘 74
2.2.3 矩阵的乘法 76
2.2.4 矩阵乘法的性质 81
习题2.2 87
2.3 矩阵的转置与分块 89
2.3.1 矩阵的转置 89
2.3.2 分块矩阵 92
习题2.3 96
2.4 方阵的逆矩阵 97
2.4.1 逆矩阵的概念和性质 97
2.4.2 初等矩阵 102
2.4.3 用初等变换求逆矩阵 109
习题2.4 113
2.5 方阵的行列式 115
2.5.1 n阶行列式的定义 116
2.5.2 n阶行列式的性质 124
2.5.3 行列式的完全展开式 134
习题2.5 138
2.6 行列式的应用 141
2.6.1 方阵乘积的行列式 141
2.6.2 用伴随矩阵表示逆矩阵 145
2.6.3 n元线性方程组的克拉默法则 150
习题2.6 153
第3章 矩阵的秩与线性方程组 155
3.1 n维向量空间Fn中向量组的线性相关性 155
3.1.1 n维向量空间 156
3.1.2 Fn中向量的线性表出 157
3.1.3 向量组的线性相关与线性无关 160
3.1.4 关于线性相关性的几个基本定理 165
习题3.1 169
3.2 向量组的秩与矩阵的秩 171
3.2.1 向量组的线性表出 172
3.2.2 极大无关组与向量组的秩 174
3.2.3 矩阵的秩 179
3.2.4 矩阵秩的行列式判别法 183
习题3.2 185
3.3 线性方程组解的结构 187
3.3.1 齐次线性方程组解的结构 187
3.3.2 运用齐次线性方程组来证明矩阵秩的性质 191
3.3.3 非齐次线性方程组解的结构 192
习题3.3 197
3.4 分块矩阵方法的进一步运用 200
3.4.1 矩阵的等价标准形 200
3.4.2 分块矩阵的初等变换 205
3.4.3 分块矩阵的行列式 209
习题3.4 212
第4章 多项式 215
4.1 多项式的整除 215
4.1.1 数论初步 215
4.1.2 多项式的加法和乘法 218
4.1.3 多项式的除法 219
习题4.1 224
4.2 最大公因式 224
4.2.1 最大公因式的计算 224
4.2.2 最大公因式的性质 226
4.2.3 多项式的互素 227
习题4.2 230
4.3 因式分解定理 231
4.3.1 不可约多项式 231
4.3.2 复数域和实数域上的因式分解 233
习题4.3 236
4.4 有理数域上的多项式 237
4.4.1 多项式的有理根 237
4.4.2 艾森斯坦判别法 239
习题4.4 242
4.5 复数域上多项式的重根 243
4.5.1 多项式的导数及其性质 243
4.5.2 多项式重根的判别条件 245
习题4.5 248
4.6 多项式的根与系数关系 248
4.6.1 三次多项式根与系数的关系 248
4.6.2 n次多项式根与系数的关系 250
习题4.6 252
第5章 矩阵的相似与若尔当标准形 253
5.1 矩阵的对角化 253
5.1.1 计算方阵的高次幂 253
5.1.2 特征值与特征向量 255
5.1.3 矩阵可对角化的条件 260
习题5.1 266
5.2 特征多项式的性质 267
5.2.1 特征值的性质 267
5.2.2 几何重数与代数重数 270
5.2.3 凯莱-哈密顿定理 274
习题5.2 277
5.3 相似矩阵 277
习题5.3 282
5.4 相似矩阵的应用 283
5.4.1 相似矩阵与递归数列 283
5.4.2 相似矩阵与常微分方程组 284
习题5.4 292
5.5 三阶方阵的若尔当标准形 292
习题5.5 300
5.6 n阶方阵的若尔当标准形 301
5.6.1 n阶方阵的若尔当标准形 302
5.6.2 为什么把特征矩阵化成对角矩阵 303
5.6.3 初等因子决定了若尔当标准形 306
5.6.4 求n阶矩阵的若尔当标准形的例子 310
习题5.6 313
5.7 若尔当标准形的一些理论推导 313
5.7.1 定理5.11的充分性证明 313
5.7.2 定理5.12的存在性证明 316
5.7.3 行列式因子与定理5.12的唯一性证明 319
习题5.7 325
部分习题答案 326
参考文献 331