本书主要讨论如何通过变分法来实现最优控制问题。更具体地说 研究了如何应用变分法实现泛函极值。它涵盖了具有不同边界条件、涉及多个函数、具有一定约束条件等的泛函极值问题。利用变分法给出了 (连续时间) 最优控制解的充要条件, 求解了不同边界条件下的最优控制问题, 并分别对线性二次型调节器和跟踪问题进行了详细的分析。通过应用基于变分法的Pontryagin最小原理, 给出了具有状态约束的最优控制问题的解。并将所得结果应用于实现几种常见的最优控制问题, 如最小时间、最小燃料和最小能量问题等。

马中静，南开大学本科、加拿大麦吉尔大学硕士和博士，美国密歇根大学安娜堡分校博士后。现为自动化学院副教授、博士生导师、电气工程研究所所长、自动化（全英文）专业责任教授。讲授《※优与鲁棒控制》、《自动控制原理》等全英文课程，主持了国家自然科学基金项目“插电式电动汽车※优充电控制策略研究”和“基于交替方向乘子法的大规模多能耦合系统优化问题研究”、科技部国际合作专项“分布式可再生能源控制及优化利用技术的联合研发”以及国家电网等多项课题。在优化、※优控制、博弈论、新能源优化利用等方面取得了丰富的科研成果，在IEEE  Trans. on Automatic Control、Automatica、IEEE Trans. on Control Systems  Technology等发表高水平SCI/EI论文50余篇，GoogleScholar引用1000+次。为知名SCI期刊《Nonlinear  Analysis：Hybrid Systems》编委、副编辑，IEEE高级会员。

 Chapter  1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . 1
   1.1 Backgrounds and Motivations of the Book . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . 1
   1.2 Optimal Control Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . 3
   1.3 Problem Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . 12
   1.3.1 Some Examples of Optimal Control Problems . . . . . . . 12
   1.3.2 Mathematical Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . 19
   1.4 Organization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
   References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
   Chapter 2 Extrema of Functional via Variational Method . . 31
   2.1 Fundamental Notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . 32
   2.1.1 Linearity of Function and Functional . . . . . . . . . . . . . . . .  32
   2.1.2 Norm in Euclidean Space and Functional . . . . . . . . . . . .  34
   2.1.3 Increment of Function and Functional . . . . . . . . . . . . . . . 35
   2.1.4 Di erential of Function and Variation of
   Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . 37
   2.2 Extrema of Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . 39
   2.2.1 Extrema with Fixed Final Time and Fixed
   Final State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . 43
   2.2.2 Speci c Forms of Euler Equation in
   Di erent Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . 47
   2.2.3 Su cient Condition for Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . 55
   2.2.4 Extrema with Fixed Final Time and
   Free Final State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . 58
   2.2.5 Extrema with Free Final Time and
   Fixed Final State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . 61
   2.2.6 Extrema with Free Final Time and
   Free Final State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . 66
   2.3 Extrema of Functional with Multiple Independent
   Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
   2.4 Extrema of Function with Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . 80
   2.4.1 Elimination/Direct Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . 81
   2.4.2 Lagrange Multiplier Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . 82
   2.5 Extrema of Functional with Constraints . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . 84
   2.5.1 Extrema of Functional with Di erential
   Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . 84
   2.5.2 Extrema of Functional with Isoperimetric
   Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . 89
   2.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
   2.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
   Chapter 3 Optimal Control via Variational Method . . . . . . . . . 96
   3.1 Necessary and Su cient Condition for Optimal Control . . . . . 96
   3.2 Optimal Control Problems with Di erent
   Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . 104
   3.2.1 Optimal Control with Fixed Final Time and
   State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . 104
   3.2.2 Optimal Control with Fixed Final Time and
   Free Final State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . 106
   3.2.3 Optimal Control with Free Final Time and
   Fixed Final State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . 111
   3.2.4 Optimal Control with Free Final Time and State . . . 112
   3.3 Linear Quadratic Regulator Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . 122
   3.3.1 In nite-interval Time-invariant LQR Problems . . . . . 130
   3.4 Linear Quadratic Tracking Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . 132
   3.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
   3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
   Chapter 4 Pontryagin's Minimum Principle . . . . . . . . . . . . . . . . .  145
   4.1 Pontryagin's Minimum Principle with Constrained
   Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
   4.2 Pontryagin's Minimum Principle with Constrained
   State Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . 155
   4.3 Minimum Time Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . 159
   4.3.1 Optimal Control Solution for Minimum
   Time Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . 159
   4.3.2 Minimum Time Problems for Linear
   Time-invariant Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . 161
   4.4 Minimum Fuel Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . 171
   4.5 Performance Cost Composed of Elapsed Time and
   Consumed Fuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . 192
   4.6 Minimum Energy Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . 204
   4.7 Performance Cost Composed of Elapsed Time and
   Consumed Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . 212
   4.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
   4.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
   Chapter 5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . 226