《2的平方根：关于一个数与一个数列的对话》以师生对话的形式展开讨论。博学的老师引导学生一步步逐渐熟悉数学推理，让学生体会数的概念远比初能想见的微妙得多。年轻的学生被2的平方根这个神奇的无理数所吸引，踏上了一段奇特的数学之旅，随后他又遇见了令他着迷的数列。强烈的好奇心驱使他迫不及待地投入工作，去了解这个神奇的数，了解这个数与数列之间的联系。本书所使用的代数方法相对简单，但非常巧妙，让读者体会到寓教于乐的态度和精神。

传播数学文化，展示数学魅力，培育数学思维，陶冶数学情怀

序 言
在我撰写本书的时候，我想象这是一位"老师"与一位"学生"的对话老师人到中年，不仅精通数学，而且十分敬业，就像艺术家对他的艺术一样，对自己的工作充满热情;学生即将成年，他表达清晰，勇于探索，渴望更博学的老师所给予的任何知识。当您预备阅读本书时，也请您作这样的理解。
他们的对话我没有描写确切的场景是老师创设的，目的之一是让学生体会数的概念远比初能想见的微妙得多。他们的数学之旅始于老师用一系列问答引导学生，通过一个漂亮而又简单的几何范例（据信产生于古代印度），建立了一个确定的数的存在性，而关于这个数的性质的知识就必然是随后问答二重奏的基本内容。
老师的高明之处在于他希望学生领略一点数学的奥秘，更在于他能引导学生一步一步逐渐熟悉数学推理，在自己"发现事物"的过程中体验纯粹的快乐。正开始探索的年轻的学习者很快感受到发现的喜悦，经过一番探索与努力，他遇见一个数列，他猜想这个数列与老师所展示出来的神奇的数有密切的联系，这对他来说是弥足珍贵的奖励。为这个幸运的发现所诱惑，强烈的好奇心驱使他迫不及待地投入工作，去更多地了解这个数，了解这个数与已令他着迷的数列间的联系。这本共有五章的书便由此开始。
我尽力使前四章具有独立性。当日常语言能达到同样目的时我避免使用数学记号，虽然语言叙述略显冗长。数学记号的运用不超出简单的高中代数的范围，但表达方式明显反映对这个数学分支的需要。所使用的代数方法是简单的，但经常是巧妙的，显示运用少量工具和技巧能够做那么多事。倘若读者能因此而欣赏代数-在一般意义下证明的功能本书的写作就不枉然。
遗憾的是，若要保持第五章完全独立，就不得不舍弃若干精彩的材料，这实在不是我的意愿，我宁可努力将这些材料献给勤奋的读者，希望他们能充分领会这些材料的实质。
在本书中，为区别对话的双方，将采用以下的印刷方式∶
老师的声音自信、柔和而令人信服设置为这样的黑体字，并靠近页面左侧。
学生的声音恭敬，热切而又好奇设置为这种轻快的字体，在页面上略微右移。
老师与学生间的对话，理应既严肃又活泼，我希望本书的读者能够从这篇对话中体会寓教于乐的态度和精神。
戴维·弗兰纳里
2005年9月

戴维·弗兰纳里，从1975年起便在爱尔兰科克理工学院教授数学。除本书外，他还与女儿莎拉·弗兰纳里合著了图书《关于代码一次数学之旅》，收到广泛好评。

第1章 提出I当的问题/1
1.1 一次探究/11
1.2 深思/ 20
1.3 逼近②/26
1.4 古人所知道的/34
第2章 无理性及其推论 /44
2.1 、②无理性的推论/51
2.2 题材的变化/53
2.3 瓷砖问题又如何?/64
2.4 队列问题/66
2.5 ②小数展开式的性质/73
第3章 代数的功能/87
3.1 种子，繁衍，世世代代/92
3.2 包含所有的，还是不?/98
3.3 数列的拆分/110
3.4 无须约分/119
3.5 跨两级的规则/125
3.6 佩尔（Pell）数列/132
第4章 戏法/139
4.1 如果…将怎样呢?/144
4.2 总在1和2之间/151
4.3 想象力的一个大胆飞跃/160
4.4 另一个戏法/164
4.5 所有的分数/172
4.6 希罗（Hero）方法/175
4.7 一点历史/183
4.8 海伦（Heron）数列/185
4.9 速度与加速度/191
4.10 预演/193
4.11 总是过剩近似值/195
4.12 下到不足近似值/198
4.13 不同的种子，相同的品种/201
4.14 都在家族中/202
4.15 运用星号/208
4.16 跨越/213
4.17 加速度/216
4.18 更强大/219
第5章 补遗与拾零/224
5.1 近似/225
5.2 拉马努金（Ramanujan）/236
5.3 卡尔·高斯（Carl Gauss）/242
5.4 知难而进/247
5.5 不同的题，相同的解 /252
5.6 幂次的相等/260
5.7 无限递减/264
5.8 四个问题/ 270
5.9 有理的与无理的/274
5.10 /②2之花/284
尾声/289
各章注释/291
致谢/295