《数学志异》主要内容包括数学悖论，第一次、第二次、第三次数学危机，哥德尔不可判定命题、混沌等非平凡问题；离散数学当中的有趣问题；数学思想与数学哲学当中的敏感问题等。如将来数学还会产生悖论与危机吗？尚未解决的数学难题是否为不可判定命题？既然是确定性系统为什么会产生紊动？愚公移山式的穷举法为什么可能无效？牛顿创立的微积分能得100分吗？数学家是些什么人？数学定理为什么要证明？等等。《数学志异》集知识性、思想性和趣味性为一体，说理直观严密，通俗易懂，充分展示数学之美妙，之深刻

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《数学志异》读者对象为中学生、大学生、中小学教师及数学T作者

　　离散篇
　　离散数学是数学当中最美、最妙、最有人缘也最有难度的数学乐园和数学天堂。
　　1.1神龟龙马，洛书河图
　　公元前2200年，我国商周时代的《易经》中载：大禹治伏水患之后，洛河上浮出一只巨型神龟，背驮如图1 1所示的“洛书”献给大禹，作为苍天对他治水有功造福百姓的奖励。这幅天书横看、竖看和斜看，每一组由黑点子与白点子合成，总点数皆为15。后来人们把此洛书翻译成如图1-2所示的一个所谓幻方。
　　所谓幻方，是由1，2，3， ，n2 -1，n2组成的一个数字方阵，每数恰在此阵中出现一次，且每行之和，每列之和和两条对角线上的数字之和皆相等。
　　1275年，我国宋代著名数学家杨辉把洛书形象地描写为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足。”破译了洛书的玄机，见图1 3。
　　“九子斜排”是按箭头方向分别把1，2，3；4，5，6和7，8，9排成具有右下方走向的一排，三个斜排组成一个倾斜45。角的正方形阵。
　　“上下对易”，指1与9对换，1移入最下空格，9移入最上空格，使得正中的头部戴了一个9的帽子，正中最低处穿了一双l字鞋，即“戴九履一”。
　　“左右相更”，指最右边的3与最左边的7对调，3移至左侧空格，7移至右侧空格。
　　至此造成一个四方阵，即“四维挺进”，又2与4分别在右上角（肩）与左上角，6与8分别在右下角（足）与左下角，即“二四为肩”“六八为足”。
　　杨辉的这种口诀中的关键词是“订2子斜排”“上下对易”和“左右相更”三句。图1 4和图1 5分别给出按杨辉口诀构作的5阶幻方和7阶幻方，任意奇数（大于3）阶的幻方皆可照此制作，但同阶幻方不是唯一的，高阶幻方的个数非常之巨大，例如五阶幻方就有一千多万个！另外，杨辉口诀不适用于偶阶幻方，偶阶幻方的构作十分困难。
　　“对易“和“相更”时，移动的步数恰为幻方的阶数，例如图1 501
　　离散篇④
　　(a)中顶上的1下降7步至33的上方邻格内，图1-5 (a)中的9下降7步至33的下方邻格内，图1-5 (a)中的7左移7步至25的左侧邻格，等等。
　　洛书对应的幻方史称“神农幻方”。
　　《易经》上又云，为奖励大禹功绩，一匹龙马从黄河跃出，把如图1 6所示的一张“河图”赠予大禹。
　　图1- 6(b)是相应位置上“点子”的个数，不过4个10的意思是被虚线联络的10个黑点子视为分布在它们形成的正方形的四个顶处。这样，河图的数学含量就大了：
　　从中心5向右加上4等于最有端的9；
　　从中心5向左加上3等于最左端的8；
　　从中心5向上加上2等于最上端的7；
　　从中心5向下加上l等于最下端的6。
　　斜着看，7J-9—2J-IO J-4 =16，8+6—3+lO+1—14，9+6—4+10+1=15，8+7—2_--IO+3=15.
　　洛书和河图出自四千多年前中华民族之手，是世界组合数学的最早成果，值得我们白豪；可惜它被后人神化，未能发展成系统的理论；中国几千年的封建君主统治，鼓励乃至强迫知识分子为皇帝歌功颂德，使大多数知识分子成为什么科学知识也没有，只会呼喊×××皇帝万岁的奴才，在这种社会背景之下，中国的许多本应领先的数学分支和组合数学一样，并没有发展起来。事实上，组合数学不仅是数学科学的重要分支，而且是信息产业和计算机科学的数学基础之一，现代数学教育和数学科研当中，必须给以足够的重视。
　　1.2 三只鸽子两个窝
　　三只鸽子出去觅食，晚上归巢柄息，它们共有两个窝，显然必有一个窝里至少住有两只鸽子，不然，即使每巢一只鸽子，还有一只鸽子不能回巢。一般而言，对于自然数n，n+1只鸽子佳在”个巢中，至少有一巢里不少于两只鸽子。
　　这一结论称为鸽笼原理或抽屉原理。
　　把m本书放入门个抽屉，m>粗，至少一个抽屉里放了多于本书，其中表示的整数部分。当m=n+1时，即n+l本书放入门个抽屉，至少一个抽屉里放不少于两本书。
　　事实上，若每个抽屉里放的书都不超过m本，则总的本数不超过m-l，与共有m本书矛盾。所以一定是有的抽屉里放了多于m-1本书。就是这么一个几乎不证白明的道理却能解千种难题，有万般应用。下面是一些应用鸽笼原理的生动实例。
　　①某军弹药库每天需一个班保卫，保卫排有六个班，一周内至少有一个班出勤两天。
　　②13人中必有两人同一个月份Ll生。
　　③商店里有10双皮鞋放在货架上，有11位顾客同时来购鞋，售货员给每位顾客拿出一只鞋试穿，则顾客们手中必有两只鞋恰是一双。
　　④从{1，2， ，2000）中选1001个数，其中必有两个，一个是另一个的整数倍。
　　事实上，取出的每个数可表成2”“，粗是非负整数，“是奇数，故对1到2000的每个数，“是1000个奇数1，3，5． ．1999中的数，可见在所选的1001个数中，有两个数的奇数因数“是一样的，它们是2”-“和2”z“，不妨设粗2>粗l，则2”-a÷21“一2”z-nl，即后者能被前者除尽。
　　⑤茌正六边形内任放七个点，则至少有两点之间的距离小于或等于该正六边形外接网的半径。连接正六边形的三条对角线如图1 7，由鸽笼原理，在图1 7的六个三角形的某个上面必然有放置的七个点中的两个，它们的距离不大于正六边形外接网的半径。
　　⑥把m1+m2十 十m，，-州+1个球放人n个盒子，其中m，m， ，7。皆正整数，则下面”件事至少发生一件：第一个盒子中至少有m，个球，第二个盒子中至少有m球， ，第""个盒子中至少有m。值大于r-l时，mi，m：，事实上，如果m， 事实上，若这n件事都不发生，则总球数不会超过(mi -l)+（m。-l）+ +（m。-l）一7T/l+7T/2+ +m。一n，而原来有球7T/l+7T/2+ +m。-n+1，矛盾。
　　⑦”（r-l）J-I个鸽子进入粗个窝，r是自然数，则至少一个窝里的鸽子不会少于r只。
　　⑧姐个自然数mi，m。， ，m。的平均 ，m。中至少有一个不小于r，r是自然数。i=l，2， ，加，则71+7T/2+ +m。<加r，与mi，m。， ，m，，的平均值大于r-l矛盾。
　　⑨任给定粗2+1个不等的实数组成的数列 “l，“2， ，“7 72+1
　　则此数列中至少存在由n+1个实数组成的单调递增或单调递减的子数列。
　　事实上，记m。是从“，开始最长的单调递增子数列的长度，若存在某个m。≥n+1，则命题⑨已成立。否则，m，a。。> >∞。+．，若不然，例如a，．<“：：，而由a。开始的递增子列的长度m。-m，再把a，，接到此子列前面，则知m，，≥m，+1一m+1，与m，，一m矛盾。至此找到由n+1个数组成的递增子序列“，，，“22， 。
　　例如17个数组成的数列9，8，18，20.7.5.4.6.11. 15．10. 13. 12. 19. 17. 3， 14，由命题⑨，上述数列中有4J-1=5个数组成的单调子数列，事实上，5，6，11，15，19就是一个。20，7，5，4，3是另一个。