《H-矩阵（张量）的判定及其Schur补研究》专门研究具有广泛应用背景的H-矩阵（张量）的数值判定方法及其应用。全书共分五章，内容包括H矩阵（张量）的基本性质与预备知识，H-矩阵的直接判定方法及迭代判别算法、几类特殊H-矩阵的Schur补对角占优度及特征值分布区域、H-张量的直接判定方法及迭代判别算法、偶次齐次多项式正定性的判定算法及总结和展望。《H-矩阵（张量）的判定及其Schur补研究》的研究将对上述领域中出现的关于矩阵（张量）应用背景问题的解决有着积的意义。
《H-矩阵（张量）的判定及其Schur补研究》可作为高等院校计算数学和应用数学专业的研究生教材，也可作为相关专业教学、科研和技术人员的参考用书。
前 言
矩阵是数值代数和矩阵分析中重要的研究课题之一, 其研究成果在计算数学、控制论、最优化理论、力学、管理科学与工程等领域有着广泛的应用. 但在实际应用中, 对矩阵尤其是大型矩阵的判定存在许多困难, 因此研究矩阵的判定具有重要的理论价值和实际意义. 矩阵Schur补在研究线性控制理论、矩阵理论、数值分析与统计学等中起着重要作用. 张量是矩阵的高阶推广, 它在许多学科领域, 如信号处理、数据分析与挖掘等中有重要应用.
本书研究矩阵的判定问题, 特殊矩阵 Schur 补问题, 张量的数值判定方法. 全书由以下几部分组成：
第一章, 简述选题背景和意义以及本书的工作.
第二章, 研究 H-矩阵的判定问题. 从矩阵的元素出发, 通过递进选取正对角矩阵元素, 得到矩阵的新判定方法. 同时, 通过改进迭代因子和利用交叉迭代来减少迭代次数, 给出矩阵的迭代判别算法.
第三章, 研究几类特殊矩阵Schur补问题. 通过构造与原矩阵相关的低阶矩阵, 给出矩阵Schur补对角占优度和对角占优度, 得到：它们的行对角占优度优于原矩阵的相应行对角占优度. 进一步, 利用Gersgorin圆盘定理、Ostrowski圆盘定理和Brauer卵形定理, 给出了矩阵Schur补的只用原矩阵的元素刻画的特征值分布区域.
第四章, 研究矩阵的高阶推广——张量的判定问题, 得到了张量的判定条件及判定算法. 作为应用, 给出判定偶数阶实对称张量, 即偶次齐次多项式正定性的判定条件及判定算法.
本书的出版得到贵州民族大学学术文库出版基金资助, 在此表示衷心的感谢.
由于作者水平有限, 书中疏漏及不妥之处在所难免, 敬请广大同行和读者批评指正.
作 者
2016年1月
第1章 概 述 1
§1.1 引 言 2
§1.2 研究工作 5
第2章 H-矩阵的几种判定法 6
§2.1 定义与性质 6
§2.2 H-矩阵的一种构造判别法 9
§2.3 H-矩阵的实用新判据 14
§2.4 H-矩阵的迭代判别算法 19
第3章 几类特殊的H-矩阵Schur补的对角占优度及特征值分布 31
§3.1 定义与性质 32
§3.2 矩阵Schur补的对角占优度及特征值分布 37
§3.3 Ostrowski矩阵Schur补的对角占优度及特征值分布 45
§3.4 块对角占优矩阵Schur补的对角占优度及特征值分布 57
第4章 张量的判定及其应用 74
§4.1 ?? 张量的性质 76
§4.2 ?? 张量的直接判定方法 81
§4.3 ?? 张量的迭代判别算法 123
§4.4 张量正定的充分条件 133
§4.5 张量正定性的判定算法 134
第5章 总结和展望 136
§5.1 总 结 136
§5.2 展 望 136
参考文献 138
矩阵的定义是A.M. Ostrowski于1937年首先给出的[3, 4], 现在矩阵的最直观定义是其比较矩阵为矩阵[5]. 实际上, 矩阵类是矩阵类的一个子类, 因此对矩阵类的研究也有助于对矩阵类的研究. 20世纪60年代, 人们从不同的角度、不同的问题背景定义了一种与矩阵类在纯粹数学上完全等价的矩阵类——广义严格对角占优矩阵类[6, 7], 这为矩阵类理论的进一步发展奠定了基础, 而随着后来（双）对角占优矩阵、（双）链对角占优矩阵等概念[8, 9]的陆续提出, 又为矩阵的性质和判定条件提供了新的途径.
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