本书首先介绍了集合论和拓扑学的基础知识，然后结合微积分的发展简史与不完善之 处，从分析学的角度系统地介绍了实变函数的基本理论框架. 全书所列内容均由作者多年讲 义结合国际上*的《实分析》教材内容整理而成，辅以数学史的注解，对初学者真正学懂 这门专业课十分有益.

本书采用国际上*的体系讲述勒贝格积分*基本的内容，主要介绍一维的勒贝格积分理论。对学习实变函数论所需集合论和拓扑学知识用*小的篇幅作了系统讲述。尤其对建立勒贝格积分所需的集合论知识用很小的篇幅作了系统而深入的介绍。对学习实变函数论所需拓扑学知识采用现代拓扑学的观点讲述。本书尽量采用拓扑学的方式讲述，使读者能够了解实变函数论中结果成立的拓扑背景，也便于读者继续深入一般测度论的学习。本书还对实变函数论中主要概念和结论的历史背景知识作了适当介绍。

序言 了解历史的变化是了解这门科学的一个步骤.陈省身积分学的历史最早可以追溯到公元前 3世纪时 , Archimedes(阿基米德 )利用圆的内接多边形计算圆的周长和面积.中国古代魏晋时期 (公元 3世纪)刘徽独立于西方创立了割圆术计算圆的周长、面积、圆周率等 .随后南北朝时期 (公元 5世纪)祖冲之发展了割圆术,成功地提高了圆周率的精度.割圆术的思想其实就是现代分析中的无限分割.17世纪 Newton(牛顿 )计算积分的流数法和 Leibniz(莱布尼茨 )的《深奥的几何与不可分量及无限的分析》一书宣告微积分的正式诞生 . 18世纪 ,微积分发展迅速，大部分积分计算方法都是这一时期给出的，其中对分析学的发展贡献巨大的数学家有 Euler(欧拉 )、Bernoulli(伯努利 )兄弟、 Taylor(泰勒)、Lagrange(拉格朗日 )、Legendre(勒让德 )等.需要特别指出的是 , 18世纪微积分发展的一个历史性转折是函数被放到了核心位置 ,此前数学家是以曲线作为主要研究对象的. Euler在他的《无限小分析引论》中明确宣布：数学分析是关于函数的科学 .需要说明的是, Newton和 Leibniz的微积分关于无限小概念的使用比较随意,容易引起混乱 ,当时引起不少人的质疑 .因此数学家们意识到分析需要严格化来消除这些混乱和随意性 .分析的严格化工作的杰出人物有 dAlambert(达朗贝尔 )、Euler、Lagrange等人 ,其中 Euler和 Lagrange引入了形式化的观点,而 dAlambert则引入了极限的观点 .到了 19世纪初 ,分析的严格化已经卓有成效 ,其中最重要的代表人物是 Cauchy(柯西 ),他给出了微积分基本定理的现代形式和级数的收敛性的定义等一系列重要工作 . 19世纪中期 ,为了弥补 Cauchy等人采用的 无限地趋近 这种说法不够严谨的不足 , Weierstrass(魏尔斯特拉斯 )引入了现在分析中采用的严谨的 ε-语言 ,重新定义了极限、连续函数、导数等分析中的主要概念 ,使得分析达到了非常严密的程度 ,因此 Weierstrass被称为现代分析之父.在分析的严格化过程中 ,数学家们遇到了极大的困难 .一些基本概念如极限、实数、级数等的研究涉及无穷多个元素构成的集合 ,比如不连续函数的连续点和不连续点构成的集合 .为了克服这些困难 , Dirichlet(狄利克雷)、Riemann(黎曼 )等人作了不少工作 .而 Cantor(康托尔 )则走得更远 ,他在这一研究过程中系统发展了点集理论 ,开拓了一个全新的数学领域 集合论.集合论已经成为现代数学的基础.19世纪末 20世纪初，分析已经成为数学的基础，其内容已经非常丰富 ,体系也相对比较完整 .然而 ,在很多地方分析学还存在较大的局限性和不完美之处.比如： (1)一个函数 Riemann可积的充要条件是什么 ?能否给出类似于连续性的 Riemann可积的充要条件 ? (2)极限与积分次序交换问题 .如果函数列不一致收敛,是否函数列的极限和积分次序一定不可交换? (3)微积分基本定理在被积函数不连续时是否成立？针对上述问题 ,在集合论的基础上 Lebesgue发展了一套完整的积分理论 Lebesgue积分.和 Riemann积分相比 , Lebesgue积分具有更好的分析性质 .比如 ,可积函数类更广 ; Lebesgue积分和极限可以交换次序的条件很弱 ;微积分基本定理成立的条件不仅限于连续函数.此外,利用 Lebesgue积分可以给出函数 Riemann可积的充要条件 . Lebesgue积分理论已成为许多现代数学分支的基础 ,如公理概率论、计算数学、分形几何等；也被广泛应用于经济学、计算机科学等应用学科当中.本书介绍的实变函数论历来对数学专业来说是一门较难的课程 .作者近年来一直从事实变函数论课程的教学工作 .这本《实变函数论》教材以授课讲义为基础,结合国际上最新的《实分析》教材内容而形成 .本书首先对学习实变函数论需要的集合论和拓扑学基础知识作了系统介绍.作者在教学过程中深感初学者学习实变函数论的第一个难点就是对无限概念的理解 ,因此在集合论部分对相关的无限集知识 ,如集合的基数、选择公理、连续统假设等作了较详细的介绍 .为了便于和拓扑学课程衔接 ,教材中拓扑学部分的内容是采用拓扑学课程的体系进行讲授 .例如在测度的讲述当中本书尽量采用拓扑学的方式 ,结合 Solovay(索洛韦 )关于不可测集存在性的结论对 Lebesgue测度与积分的非构造性特征作了系统介绍 ,力图让读者理解 Lebesgue测度之所以抽象的根本原因 ,这也是实变函数学习的第二个难点 .度过了上述两个难点后相信读者学习后续部分内容就不会有太大困难 .在测度论部分对集合可测性的不同定义方式作了系统介绍 ,从而方便读者阅读参考书 .本书对积分的讲述采用和数学分析类似的处理方式 ,即先系统讲述有界集上的有界函数积分再过渡到一般函数积分 ,这样做的目的是便于读者和数学分析课程进行比较.微分部分的讲述采用的是较为简洁的极大函数方法.本书所有内容主要讲述低维情形 ,如测度部分主要是讲一维情形 .只要把低维情形学习好了 ,再推广到高维不应有太大困难 .本书对相关知识的发展历史作了适当介绍 ,我们相信相关知识历史背景的了解对学好实变函数论是必不可少的,至少可以增强学习的目的性,了解前人当时是怎么思考的.本书篇幅虽然简短 ,但自成一体 .尤其是学习实变函数论所需要的集合论和拓扑学知识的介绍比较完备 .限于篇幅 ,我们只讲述实变函数论最基本的理论框架,许多深入的内容,如 Lp空间、 Fourier(傅里叶)分析等完全未涉及.本书引用了书后参考文献中的相关内容和习题 ;编写过程中函数论专家、浙江理工大学周颂平教授给出了不少建设性建议 ,他细致审阅了本书全文并作序;本书出版得到浙江理工大学教材建设项目和浙江省一流数学学科建设经费资助 .在此一并表示感谢 .本书以讲义形式在浙江理工大学实变函数论课程中多次讲述 ,因此同时感谢几届学生提出的宝贵意见 .最后特别感谢清华大学出版社为本书出版所付出的努力.编者2016年 12月于浙江理工大学

樊太和，博士，浙江理工大学数学科学系教授，从事拓扑学和模糊推理方面的研究工作和数学课程的教学工作31年。发表学术论文数十篇，开设过30余门数学课程，包括实变函数论，拓扑学等。贺平安，博士，浙江理工大学数学科学系教授，从事生命信息论方面研究工作和数学课程教学工作，发表学术论文数十篇。

目录
第 1章集合 ................................... 1
1.1集合 ................................. 1
1.1.1集合的概念 ............. 1
1.1.2集合运算 ................ 2
1.2基数的概念 ....................... 8
1.3可数集和不可数集 ............13
习题 1......................................20
第 2章 n维欧氏空间上的拓扑 .......23
2.1 n维欧氏空间上的拓扑概念 .....................................................23
2.1.1开集,内部,拓扑 .....23
2.1.2闭集,闭包,导集 .....27
2.2子空间,乘积空间,紧集和连续映射 ..........................................31
2.2.1子空间 ...................31
2.2.2乘积空间 ...............32
2.2.3紧集 ......................33
2.2.4连续映射 ...............35
2.3开集的结构, Cantor三分集, Borel集 ......................................40
2.3.1开集的结构 ............40
2.3.2 Cantor三分集 .......43
2.3.3 Borel集 ................45
习题 2......................................50
第 3章测度论 ...............................53
3.1外测度 .............................54
3.2可测集 .............................57
3.3可测集类 .........................61
3.3.1可测集的进一步性质 .....................................................61
3.3.2一个不可测集的例子 .....................................................63
3.3.3集合可测性的等价定义 .................................................64
3.3.4 L作为 B的完备化简介 ..............................................66
习题 3......................................69
第 4章可测函数............................72
4.1可测函数的定义和基本性质 .....................................................72
4.1.1广义实数集 ............72
4.1.2可测函数 ...............75
4.1.3几乎处处的概念 .....79
4.2简单函数 .........................80
4.3可测函数的极限性质和构造 .....................................................83
4.3.1几乎处处收敛与近一致收敛 ...........................................84
4.3.2依测度收敛和几乎处处收敛 ...........................................86
4.3.3可测函数的构造 .....89习题 4......................................91
第 5章 Lebesgue积分..................94
5.1 Lebesgue积分的引入:简单函数的积分 ....................................94
5.2测度有限集合上有界可测函数的积分 .......................................98
5.3 Lebesgue积分和 Riemann积分的关系 ................................... 103
5.4非负可测函数的积分 ....... 106
5.5一般可测函数的积分 ....... 111
5.6乘积测度与 Fubini定理 .. 118
5.6.1二维乘积测度空间 ...................................................... 118
5.6.2 Fubini定理 ..........121
5.6.3乘积集合的可测性 ...................................................... 127
习题 5.................................... 129
第 6章微分 ................................ 134
6.1积分的微分 .................... 134
6.1.1 Hardy-Littlewood极大函数 ........................................ 135
6.1.2 Lebesgue微分定理 ..................................................... 138
6.2函数的微分 .................... 141
6.2.1有界变差函数 ....... 141
6.2.2绝对连续函数 ....... 151
6.2.3跳跃函数的导数 ... 155
习题 6.................................... 158
附录 A选择公理的等价形式 .........163
习题7 ...................................... 167
附录 B一般测度与积分理论简介... 168
B.1一般测度空间 ................ 168
B.2积分 ............................. 170
B.3符号测度和 Randon-Nikodym定理 ....................................... 172
参考文献 ........................................ 175
索引 ............................................... 177