折纸设计的秘密----折纸模型中的数学世界_托马斯·赫尔_9787111557616

本书共30章，从看似简单的“在一张正方形的纸中折叠出一个等边三角形”和“将一段长度n等分”入门，慢慢衍生出乱花渐欲迷人眼却又令人欲罢不能的奇妙章节，例如折纸螺旋、模块星形环、蝴蝶炸弹、巴基球等，汇集了当今国际一流的折纸数学模型。书中涉及一些高级数学内容，包括三角函数、微分几何、微积分和数学建模等，具备一定的理科功底会更容易理解。全书内容新颖、发人深省且实操性强，对于高校老师的教学而言是一本非常好的补充教材，对折纸粉丝和数学爱好者而言，也是一本不可多得的拓展思维的实用手册。书中既有与现实生活联系紧密的应用型话题，也有打通三角几何、微积分的富有启发性的讨论和思考，还兼备一些国外新的教学思想和引导方式，信息量十分丰富。阅读本书，能轻松激起数学和折纸爱好者的挑战兴趣。同样，具备一定数学基础的大众也可从中一睹折纸之乐趣、数学之魅力。

（修订版）折纸设计的秘密——折纸模型中的数学世界前言（修订版）2006年在出版第1版《折纸设计的秘密》后，我收到了许多读者反馈。每学期我都会收到众多读者发来的邮件，他们曾经通过这样或那样的途径使用过这本书。在这些读者之中，有的是大学教授，有的是中学教师。他们告诉我讲授书中的某些章节时效果很好，或者告诉我他们有个好主意，又或者是某一种教学方式对学生很适用。还有些邮件来自学生，他们咨询我对于正在尝试的某个项目有何建议，或者希望获得更多资源以便进一步深入拓展。还有一些邮件来自热爱折纸数学艺术的粉丝们，以及那些因为此书希望感谢我的人。

当然，我自己也常常使用这本书。我在莫瑞麦克学院和西新英格兰大学教授好几门关于折纸数学的课程。每当我教大学几何、多变量微积分或图论时，我都会从这本书中选取课程案例。

当过老师的人都明白，教学活动不是单向的，并不是说信息单方面从老师流向学生，而更像是一种回馈式的互动。在观察学生们学会教材内容并对其做出反应的同时，教师们自身也会学习到很多新东西。因此，在收到读者来信后，加上我多年来的教学经验，开发一本新教材的想法很自然就产生了。与学生们和同事们的交流给我带来了许多灵感。有时，学生们自己在网络上或书本中发现了一个折纸模型后，向我抛出关于这个模型的数学问题。此外，在我打算出第2版书之前，我自己也已经发现了六七个折纸数学教材。当我意识到这些后，我明白，出第2版书的时机已经到了。

无论是自己激动万分发现的新材料，还是其他人在使用第1版书时发现的新材料，无疑都是出版新书时令人开心的一面。但同样令人窘迫的是，任何一本包含大量信息而且被广泛使用的书中小错误总是难免的。大多数错误（有些是我自己发现的）属于拼写类错误或者是为了省略而造成了令人遗憾的错误，这些都是很容易被发现并可以弥补的。然而，有些错误属于数学范畴，尽管第1版初稿经过全国多所大学、学院教授及其学生们的详尽测试，有些数学错误仍然成为漏网之鱼。

这些错误中最糟糕的莫过于“五个交叉四面体”。第1版中关于这一课的解决方案已经很接近完美，但并非百分之百的准确。在第2版中对这个错误进行了更正，事实上，是给出了比第1版更为简捷的新方案。

在准备出版《折纸设计的秘密》（第2版）的过程中，我终于有机会用一种挑剔的眼光来重新通读全书。我很高兴，同时又很惊奇地发现，在本书第一次出版5年后的今天，我原先所坚持的要用最简单的办法来展示或教授这些教材的观点已经发生了改变。甚至是相对更为直截了当地展示结果，比如平顶点折叠的矩阵模型看起来也可能有所改善。就这样，我对第1版中几乎所有的课程教材都进行了修订，解决方案和教学法部分也在书中多处予以改进。

以我个人的观点，第2版比第1版更棒。不仅目录从原先的22章扩充到30章，新增加了100多页内容，我个人以及其他数十人（将在致谢中一一提及）这些年来的感受和经验也大大完善了课程教材的许多内容。我希望你也会同意这一点：这本书确实值得一读！

托马斯·赫尔西新英格兰大学马萨诸塞州斯普林菲尔德市

我为什么写这本书？我希望本书能成为众多关于折纸数学书籍中的第一选择。此书源自我对折纸和数学这两大主题的毕生热爱。我从8岁便开始接触折纸，当时叔叔送给了我一本折纸的指导书。尽管这本从日文翻译过来的书中有很多地方语焉不详，翻译模糊，我还是设法琢磨出很多内容，但由于各种原因，仍然有一些没想明白。不过与此同时，我也意识到，我很擅长数学，尤其是从加法和乘法中发现的模式简单易记也很有趣。我还清楚地记得，正是在那些年里，我开始注意到折纸和数学之间的联系。我折了一个动物，可能是经典的拍鸟。我没有把它放在我那不断增多的折叠模型盒子中，而是仔细地展开它。在展开的纸张上，折线的模式复杂又可爱。很显然，在我看来，这其中蕴藏着一些数学的东西。线条的模式必须遵循一些几何规则。但在当时，了解这些规则远远超出我的理解能力。

上大学时，我再度与折纸和数学相遇。那时，我已精通复杂高水平的折纸，并且阅读了大量书籍，包括John Montroll，Robert Lang，Jun Maekawa，以及Peter Engel的书（参见本书后的参考文献［Eng89］，［Kas83］，［Lang95］，［Mon79］）。我参加过纽约市的一些折纸大会［由非营利性组织主办，现在被称为“美国折纸协会”（Origami USA）］Origami USA:美国折纸协会，甚至还自己发明了一些折纸设计。我上过一些数学课，正在考虑以数学科学作为我的职业生涯。但就在这时发生了一件事，迫使我开始思考和探索折纸与数学的交集。我得到了Kunihiko Kasahara和Toshie Takahama创作的一本经典书《折纸鉴赏家》（参见［Kas87］）。起初，我以为这只是另一本复杂一些的折纸书。其实，我买它是因为其中包含了John Montroll的著名剑龙模型说明（细节描述无可挑剔，由一张未经裁剪的正方形纸做成）。当时我一点也不知道，这本书其实还包含一些指导说明，而这些会是在未来紧紧吸引我的兴趣爱好，我仿佛上瘾一般，沉迷其中数十小时。

这本书带领我第一次接触了模块化折纸，将许多小方块纸张折成相同的“组件”，接着将这些组件锁定在一起，形成各种形状。《折纸鉴赏家》中的组件使人们可以做出所有正多面体的代表：立方体、四面体、八面体、十二面体和二十面体。而在此之前，我对这些物体只有大致的了解，但在我折叠了许多，有时甚至是上百个组件来制作这些正多面体和其他多面体后，我才逐渐熟悉了它们。可以毫不夸张地说，模块化折纸是我认识多面体几何物体的第一导师。

对我来说，现在回想起来能很快就明白到底发生了什么事，而在当时，我只知道自己对折纸感兴趣，可以做一些具有漂亮几何形状的物体来装饰我的宿舍。折纸教会了我，并且给了我一个环境，让我去探索和掌握各种多面体的特性。比如，在每个顶点周围，我应该如何安排一个个小组件，使之形成立方八面体？每种颜色的组件我需要多少个，才能做出三十二面体的有趣着色？从那以后直到在研究生院当教授的多年间，我一直在尽我所能地收集一切和折纸数学相关的材料，先是在莫瑞麦克学院，后来是西新英格兰大学。由于很多来源很难找到，或者仅仅是对潜在模式的暗示，所以我常常不得不自己做研究，把这些零星碎片拼在一起。在此过程中，我看到折纸与各种各样数学主题的交集，从更明显的几何领域到代数、数论和组合。似乎我了解的越多，折纸与数学重叠的领域也就越多。

在收集折纸数学材料的同时，我开始向大学生、高中生，以及他们的老师做关于这一主题的讲座。自那以后，他们对折纸作为数学教学工具的兴趣变得非常浓厚。老师们会经常问我，他们可以在哪里找到如何在他们班的课堂上使用折纸的详细信息。后来出了几本书，如参考文献［Fra99］，提供了一些方式，可以使用模块化折纸来教授几何概念，但这些都不是针对大学水平做的，也没有触及折纸能够提供的各类主题。

因此，我写了这本书。我的目标是将我所发现的很多数学折纸内容编辑在一起，将它们按照一种比较容易让大学或高中教师在课堂上使用的方式加以呈现。

如何使用这本书本书包含内容涵盖了多个数学领域。出书的目的是让数学老师能找到可用的教材，不管是教大学还是教高中课程。每一章一开始是可能适合的课程列表。

但很重要的一点是，必须认识到许多教材都可以有效应用于不同水平的课程之中。例如，角三等分的活动在高中几何教师之间已经非常普及，但它同样也可以用在高等水平的伽罗瓦理论课程中。PHiZZ单元巴基球的活动对于“文科数学”的学生而言是一个很好的拓展项目，并为学习图论的学生提供了手把手的教学方式，可以来探索三边着色立方平面图和四色定理之间的联系，更不要说还有机会在更高水平的几何课上对曲面进行分类。

总之，这本书及其应用的一大关键词就是灵活性。每一章都附有讲义，可以复印给学生们使用，还包括为老师提供的关于解决方案的注释、如何使用讲义、对教学法的建议，以及可以进一步采取的方向。

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