第二章 流体静力学  本章导读： 流体静力学主要研究流体处于平衡状态的规律及其在实际中的应用。流体的平衡状态有两种：一种是相对静止状态，即流体相对于地球没有运动；另一种是相对平衡状态，即所研究的流体虽然相对于地球在运动，但流体相对于容器或者流体内部质点之间却没有相对运动。本章只研究处于相对静止状态的流体。 平衡状态下流体质点之间没有相对运动，流体的黏滞性不起作用，故平衡状态下的流体不呈现切应力。由于流体几乎不能承受拉应力，所以平衡流体质点间的相互作用是通过压应力(静压强)形式呈现出来的。在实际工程中，流体对固体壁面产生的“压效应”不容轻视，这类力有可能推倒混凝土水坝或使压力容器爆裂等。 本章主要研究流体在静止状态下的力学规律，详细阐述静压强的特性、分布规律以及作用在平面和曲面上静水总压力的计算方法及其实际应用。 第一节 流体静压强及其特性

       一、流体静压强的定义 在静止流体中取一微元体作隔离体。为保持隔离体仍处于静止状态，需要在隔离体表面上施加外力，以代替其周围流体对隔离体的作用，如图2-1所示。现用任一平面ABCD将此体积分为Ⅰ、Ⅱ两部分，假定将Ⅰ部分移去，并以与其等效的力代替它对Ⅱ部分的作用，显然，余留部分不会失去原有的平衡。 图2-1 静止流体中隔离体的受力 从平面ABCD上取出一微面积 ，a点是 的几何中心， 为移去流体作用在 上的作用力，则 称为面积 上的流体静压力，作用在 上的平均流体静压强 可用下式表示，即 (2-1) 当 无限缩小至点a时，平均压强 便趋于某一极限值，此极限值定义为该点的流体静压强，通常用符号p表示，即 (2-2) 压力的单位为N或kN，压强的单位为Pa( )或kPa。

        二、流体静压强的特性 流体静压强具有两个重要特性。

       1. 第一特性：流体静压强的方向垂直指向被作用面 如图2-2所示，在静止流体内任取一分界面n—n，n—n面将容器中流体分为上、下两部分，上部分流体对n—n面以下流体的作用力属于表面力。在n—n面上任取一点，假如其所受的流体静压强p是任意方向，则p可分解为法向应力 与切向应力 。显然，根据流体的性质，在 作用下，流体将失去平衡而流动，这与静止流体的前提不符，故 。可见，p必须垂直于过该点的切平面。又由于流体不能承受拉应力，故流体静压强p只能为压应力。因此，只有内法线方向才是流体静压强p的唯一方向，如图2-3所示。 图2-2 静压强方向分析图 图2-3 静压强方向实例

        2. 第二特性：作用于同一点上各方向的流体静压强大小相等 在证明这一特性之前，先通过下述例子进一步说明该特性的含义。如图2-4所示，当A点作为ab面上的点时，流体静压强为 ，作为cd面上的点时，压强为 ，根据第二特性，则 。 兹证明如下。 如图2-5所示，从平衡流体中分割出一无限小的四面体OABC，斜面ABC的法线方向为任意方向，各棱边长分别为 。现以 和 分别表示坐标面和斜面ABC上的平均压强，n为ABC的外法线方向，如果能够证明，当四面体OABC无限地缩小到O点时， ，则流体静压强的第二特性得到证明。由于微小四面体是从平衡流体中分割出来的，它在所有外力作用下必处于平衡状态。作用于微小四面体上的外力包括两部分：一部分是四个表面上的表面力，即周围流体作用的流体静压力；另一部分是质量力，在静止流体中质量力只有重力，在相对平衡流体中质量力还包括惯性力。 令 为作用在OBC面上的流体静压力； 为作用在OAC面上的流体静压力； 为作用在OAB面上的流体静压力； 为作用在斜面ABC上的流体静压力。 图2-4 静压强第二特性示意图 图 2-5 微小四面体所受表面力 令四面体体积为 ，由几何学可知， 。假定作用在四面体上的单位质量力在三个坐标方向的投影为X、Y、Z，则总质量力在三个坐标方向的投影为 根据平衡条件，作用在微小四面体上的外力在各坐标轴上投影的代数和为零，即 (2-3) 式中，(n，x)、(n，y)、(n，z)分别为斜面ABC的法线n—n与x、y、z轴的交角； 为四面体所具有的密度。 若以 分别表示四面体四个表面OBC、OAC、OAB、ABC的面积，则 ， ， 。 将式(2-3)中第一式各项同除以 ，并引入 的关系式，则有 (2-4) 式中， 、 分别表示 、 面上的平均流体静压强。 如果让微小四面体无限缩小至O点， 以及 均趋于零，对式(2-4)取极限，则有 对式(2-3)中第二式与第三式分别除以 ，并做类似的处理后同理可得 因斜面ABC的法线方向是任意选取的，所以当四面体无限缩小至O点时，各个方向流体静压强均相等，即 流体静压强的第二特性表明，作为连续介质的平衡流体内，任一点的流体静压强仅是空间坐标的函数，即 ，而与受压面方位无关。 第二节 重力作用下流体静压强的分布规律 前面已经说明了流体静压强的特性，下面推导流体静力学的基本方程。

        一、液体静力学的基本方程 如图2-6所示，在均质液体中取一竖直柱形隔离体，其水平截面积为 ，顶部压强为 ，底部压强为 ，顶部、底部距液面的距离分别为 ， ，距基准面的距离分别为 ，液面压强用 表示。 图2-6 圆柱隔离体的受力 下面分析其受力情况。在重力作用下，水平方向没有质量力，所有水平方向表面力的合力等于零。在竖直方向，顶面压力等于 ，方向向下，底面的压力等于 ，方向向上，质量力是重力 ，或表示为 ，方向向下。各力处于平衡状态，则有 或 整理得 (2-5) 或 (2-6a) 上式表明，静止液体中任意两点的 值相等，也就是说静止液体中各点的 等于常数，即 (2-6b) 如果在式(2-5)中取 ，即柱体的顶面与液面重合，那么位于液面以下深度为h处的压强为 (2-7) 式(2-6)、式(2-7)是重力作用下液体静力学基本方程的两种表达式。 式(2-6)表明，当 时，则 ，即位置较低点的压强恒大于位置较高点的压强。式(2-6)适用于静止的、连续的、质量力只有重力的同一种均质液体。 式(2-7)说明，静止液体中压强随深度按线性规律增加，且液体内任一点的压强p等于液面上的压强 与从该点至液面的单位面积上的垂直液柱重量 之和。液面压强 的变化可以等值地传递到液体的其他各点，这就是帕斯卡定律。 若液面暴露在大气中，其上作用着大气压强pa，作用着大气压强的液面常称作自由液面，此时式(2-7)可表示为 。

        大气压强一般是随海拔高程及气温的变化而变化的。在工程技术中，常用工程大气压表示压强，1个工程大气压(1atm)相当于736mm水银柱对柱底产生的压强。在工程计算中，如无特殊说明，可将大气压强看作常量，取 pa=1atm(1个工程大气压)= 二、等压面 由式(2-7)可以看出，液面下深度h相等的各点压强相等。压强相等的各点组成的面称作等压面。例如，自由液面以及处于平衡状态下的两种液体的交界面都是等压面。对于重力作用下的静止液体，液面是和重力方向垂直的水平面，因为如果不和重力方向垂直的话，沿液面就有一个切向分力，液体就要移动，和静止这个前提不符(严格来讲，和重力方向垂直的面是近似和地球面同心的球面，不过就工程流体力学的实用范围来讲，完全可以看作是水平面)。由此可见，重力作用下静止液体的等压面都是水平面。但必须注意，这一结论只适用于质量力只有重力的同一种连续介质。对于不连续的介质，或者一个水平面穿过了两种不同介质，如图2-7(b)、(c)所示，则位于同一水平面上各点的压强并不一定相等。 (a) 同种连通液体 (b) 同种非连通液体 (c) 连通非同种液体 图2-7 等压面示意图  综上所述，在同一种连续的静止液体中，水平面是等压面。