本书是根据教育部有关的教学大纲及*新全国硕士研究生入学统一考试(数学三)大纲的要求，总结作者多年讲授线性代数课程的实践经验编写而成的。
全书介绍了行列式、矩阵及其运算、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量以及二次型等线性代数的基础理论与方法。
本书语言叙述力求深入浅出、通俗易懂，内容编排力求层次清晰、简明扼要，例题与习题选取力求少而精。本书可作为经济管理类本科生的试用教材。
本书是根据教育部有关的教学大纲及*新全国硕士研究生入学统一考试(数学三)大纲的要求，总结作者多年讲授线性代数课程的实践经验编写而成的。
线性代数课程有以下特征。
(1)内容抽象、前后关联、相互渗透。
(2)概念多、定理多、符号多。
(3)计算原理简单，但计算量较大。
(4)证明一般需要较高的技巧。
(5)应用广泛。
为了学好这门比较抽象的课程，本书力求做到以下几点。
(1)注重线性代数思想与方法的介绍。
(2)内容精练，结构完整，推理简明，通俗易懂。
(3)语言叙述深入浅出，便于自学。
(4)例题选取做到少而精。
(5)注重应用。
第2版是对本书2015年4月第1版的修订。修正了第1版的一些错误与不妥之处。基本保持了第一版的风格与体系。
第2版前言
线性代数主要研究变量间的线性关系。由于线性关系存在于自然科学与社会科学的各个领域，且大量的非线性问题在一定条件下也可转化为线性问题来处理，于是线性代数理论方法广泛应用于自然科学、工程技术与经济管理科学的各领域中，尤其与金融、证券、投资、运筹学等学科相互渗透或结合得紧密。因此，“线性代数”已成为经济管理类专业学生必修的一门重要基础课，它被列为硕士研究生入学考试的必考课程。通过本课程的学习，希望学生能掌握线性代数的基本思想与方法，并且具备一定的分析与解决实际问题的能力。
本书是根据教育部有关的教学大纲及最新全国硕士研究生入学统一考试(数学三)大纲的要求，总结作者多年讲授线性代数课程的实践经验编写而成的。
线性代数课程有以下特征。
(1)内容抽象、前后关联、相互渗透。
(2)概念多、定理多、符号多。
(3)计算原理简单，但计算量较大。
(4)证明一般需要较高的技巧。
(5)应用广泛。
为了学好这门比较抽象的课程，本书力求做到以下几点。
(1)注重线性代数思想与方法的介绍。
(2)内容精练，结构完整，推理简明，通俗易懂。
(3)语言叙述深入浅出，便于自学。
(4)例题选取做到少而精。
(5)注重应用。
第2版是对本书2015年4月第1版的修订。修正了第1版的一些错误与不妥之处。基本保持了第一版的风格与体系。
参加第2版修订工作的有：刘玉蓉老师(修订第1章)，赵春昶老师(修订第2章)，张良老师(修订第3章、第4章)，纪德云老师(修订第5章)，最后由纪德云老师、张良老师修改定稿。在修订过程中，承蒙程从沈老师的大力帮助，在此表示衷心感谢！
由于编者水平有限，书中难免有不妥之处，敬请读者批评指正。
编者
第1版前言
线性代数主要研究变量间的线性关系。由于线性关系存在于自然科学与社会科学的各个领域，且大量的非线性问题在一定条件下也可转化为线性问题来处理，于是线性代数理论方法广泛应用于自然科学、工程技术与经济管理科学的各领域中，尤其与金融、证券、投资、运筹学等学科相互渗透或结合。因此，线性代数已成为经济管理类专业学生必修的一门重要基础课，它被列为硕士研究生入学考试的必考课程。通过本课程的学习，希望学生能掌握线性代数的基本思想与方法，并且具备一定的分析与解决实际问题的能力。
本书是根据教育部有关的教学大纲及最新全国硕士研究生入学统一考试(数学三)大纲的要求，总结作者多年讲授线性代数课程的实践经验编写而成的。
线性代数课程有如下特征。
(1)内容抽象、前后关联、相互渗透；
(2)概念多、定理多、符号多；
(3)计算原理简单，但计算量较大；
(4)证明一般需要较高的技巧；
(5)应用广泛。
为了学好这门比较抽象的课程，本书力求做到以下几点。
(1)注重线性代数思想与方法的介绍；
(2)内容精练，结构完整，推理简明，通俗易懂；
(3)语言叙述深入浅出，便于自学；
(4)例题选取做到少而精；
(5)注重应用。
全书由马毅老师和张良老师主持编写。其中第1章由刘玉蓉老师撰写，第2章由赵春昶老师撰写，第3～5章由张良老师撰写，最后由马毅老师和张良老师修改定稿。在编写过程中，承蒙程从沈老师的大力帮助，在此表示衷心感谢！
由于编者水平有限，书中难免有不妥之处，恳请读者批评指正。
编者
目录
第1章行列式1
1.1二阶与三阶行列式1
1.2排列及其逆序数2
1.3n阶行列式3
1.4行列式的性质5
1.5行列式按行(列)展开8
1.6克莱姆法则12
小结15
阶梯化训练题18
第2章矩阵23
2.1矩阵的概念23
2.2矩阵的运算24
2.3矩阵分块法29
2.4可逆矩阵31
2.5矩阵的初等变换34
2.6矩阵的秩38
小结40
阶梯化训练题45
第3章线性方程组54
3.1线性方程组的消元解法54
3.2向量及其运算58
3.3向量组的线性相关性60
3.4向量组的秩与极大线性无关组65
3.5线性方程组解的结构68
小结77
阶梯化训练题82
第4章矩阵的特征值91
4.1矩阵的特征值与特征向量91
4.2相似矩阵与矩阵对角化95
4.3实对称矩阵的特征值与特征向量98
小结103
阶梯化训练题106
第5章二次型111
5.1二次型与对称矩阵111
5.2二次型的标准形与规范形113
5.3二次型与对称矩阵的正定性117
小结119
阶梯化训练题120
各章阶梯化训练题参考答案124
第1章行列式
数学是从人们的需要中产生的，行列式是人们从解线性方程组的需要中建立起来的。
1.1二阶与三阶行列式
1.二阶行列式
用记号表示代数和，称记号为二阶行列式，即
(1-1)
可借助对角线法则来记忆，参看图1-1。
图1-1
等于实连线上两元素乘积与虚连线上两元素乘积之差。
例1-1计算二阶行列式。
解
2.三阶行列式
用记号表示代数和，称它为三阶行列式，即
(1-2)
三阶行列式含有6项，每项均为不同行、不同列的3个元素的乘积再冠以正负号，其规律遵循如图1-2所示的对角线法则：图中各实线连接的3个元素的乘积是代数和的正项，各虚线连接的3个元素的乘积是代数和的负项。
图1-2
例1-2计算三阶行列式。
解
例1-3解方程。
解由，解得或。
对角线法则只适用于二阶和三阶行列式，为研究更高阶行列式，下面将介绍有关排列及逆序数的知识。
1.2排列及其逆序数
定义1-1由个自然数组成的一个有序数组称为一个级排列。
例如，2341及4321都是4级排列，54231是一个5级排列。
定义1-2在一个级排列中，若较大的数排在较小的数前面，那么它们就构成一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数。
排列的逆序数记作。
求排列逆序数的方法：若比1大而排在1前面的数有个，比2大而排在2前面的数有个，比3大而排在3前面的数有个，……，则这个排列的逆序数为+++…。
例1-4求下列排列的逆序数。
(1)45312；(2)7654321。
解(1)
(2)
定义1-3若为奇数，则称排列为奇排列；若为偶数，则称排列为偶排列。
例如，排列7654321是奇排列，排列45312是偶排列。
定义1-4将一个排列中的任意两个数互换位置，这种对排列的变换称为对换。
定理1-1任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变。
证明先证相邻对换的情形。
设排列，对换与，变为排列。显然，和这些数的逆序数经过对换并不改变，而、两数的逆序数改变为：当时，经过对换后的逆序数增加1而的逆序数不变；当时，经过对换后的逆序数不变而的逆序数减少1，所以排列与排列的奇偶性不同。
再证一般对换的情形。
设排列，把它作次相邻对换，变成，再作次相邻对换，变成。总之，经过次相邻对换，排列变成，所以这两个排列的奇偶性相反。
定理1-2级排列共有个，并且当时，在个不同的排列中，奇排列与偶排列各占一半。
1.3n阶行列式
为了给出阶行列式的定义，先来研究三阶行列式的结构。三阶行列式的定义为
容易看出以下几点。
(1)三阶行列式表示所有位于不同行、不同列的3个元素乘积的代数和。3个元素的乘积可以表示为，为3级排列，当遍取3级排列时，即得到三阶行列式的所有项(不包括正负号)，共为项。
(2)各项的正负号与列下标的排列对照如下。
带正号的三项列下标排列：123，231，312。
带负号的三项列下标排列：321，213，132。
前3个排列都是偶排列，后3个排列都是奇排列。因此，各项所带的正负号可以表示为，其中为列下标排列的逆序数。
总之，三阶行列式可以写成
其中表示对3级排列求和。
仿此，可把行列式推广到一般情形。
定义1-5令=(1-3)
式(1-3)的左端称为阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列，称为行列式的第行第列元素；式(1-3)的右端称为阶行列式的展开式，其中是一个级排列，表示对所有级排列求和。
[注]
(1)行列式的展开式是行列式中一切不同行、不同列元素的乘积前面加上符号的代数和。
(2)阶行列式的展开式共有项，当时，项中一半前面的符号取正号，另一半取负号。
(3)式(1-3)左端的阶行列式可简记为。
例1-5证明下三角行列式
(1-4)
证明由于当时，，故中可能不为0的元素，其下标应有，即,,。
在所有排列中，能满足上述关系的排列只有一个自然排列，所以中可能不为0的项只有一项。此项的符号为正，所以
同理，可得上三角行列式
(1-5)
特别是对角行列式，即
(1-6)
这些结论在以后行列式的计算中可直接应用。
……
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