概率论与数理统计_张艳,程士珍_9787302467441

本书涵盖了高等工科院校的《概率论与数理统计教学基本要求》中的全部知识, 对理工科学生需要掌握的概率论与数理统计知识进行了深入细致的讲解。对于概率论与数理统计这门课程中需要掌握的基本概念、基本定理、基本方法给出了解释和说明, 力求在循序渐进的过程中, 使读者逐步掌握这门课程的内容。

本书是为定位于培养应用型人才的工科院校而编写的教材.

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的数学学科，是一门重要的、基础的数学理论课程.在本书编写过程中，我们参照高等工科院校的《概率论与数理统计教学基本要求》，考虑到教材的系统性，共分9章进行编写.第1章至第5章为概率论的基本内容，第6章至第8章为数理统计的基本内容，第9章是概率统计实验部分.通过本课程的学习，可使读者掌握概率论与数理统计的基本理论和方法，培养读者运用概率统计方法分析及解决实际问题的能力.

本书编写中力求深入浅出，突出重点，对基本概念、重要公式和定理注意其实际意义的解释和说明，力求在循序渐进的过程中，使读者逐步掌握概率论与数理统计的基本方法.根据工科院校后继课程的要求，本书删掉了有关随机过程的内容，以便更紧密地结合各类专业问题，使读者学习基础课有的放矢，明确基础课对后续专业课的意义.对于本书中一些重要的基本概述，给出了英文对照，便于读者查阅相关文献.本书在每一小节后相应配上了一定数量的习题，便于读者有针对性地巩固复习；在每一章结尾处，除总习题外还配有相应的自测题，自测题型多样，覆盖面广；并在全书最后给出详细解答，便于读者检查自己对本章内容的掌握情况.本书内容涉及的著名概率统计学家、有趣的数学典故和容易混淆的问题以补充阅读材料的形式给出，在学习知识的同时培养读者的数学素养，增强读者对本课程的兴趣.由于计算机应用日益普及，第9章——概率统计实验——介绍了MATLAB在概率统计中的应用，在辅助理解教学内容的同时，增强了读者的计算机应用能力，为读者解决实际问题奠定了良好的基础.

本书第1章由张丽萍编写，第2章由张艳编写，第3章和第5章由张蒙编写，第4章由刘志强编写，第6章由徐志洁编写，第7章由王晓静编写，第8章由卢崇煜编写，第9章由白羽编写.全书内容结构由张艳、程士珍主持设计制定，并负责统稿和定稿.

由于编者水平有限，书中可能还存在疏漏和不当之处，敬请读者和同行批评指正.

编者2017年3月

第3章多维随机变量及其分布第2章主要讲述了随机变量以及随机变量的分布.但在实际应用中面对的情况经常是十分复杂的，除了需要研究一个随机变量外，更多的情况要涉及两个或两个以上的随机变量，这些随机变量之间往往存在着一定的联系，经常需要将它们作为一个整体来考察.因此，引入多维随机变量（有时也称为随机向量）的概念，并对其分布加以研究很有必要.

本章主要介绍二维随机变量及其联合分布、边缘分布、条件分布、独立性等概念，并分别针对离散型二维随机变量和连续型二维随机变量进行深入探讨，最后介绍几种常用的两个随机变量的函数的分布.

3.1二维随机变量〖*1〗一、二维随机变量及其分布函数一个随机变量只能描述单个不确定结果，在研究实际问题时，随机试验中出现的变量常常是两个或两个以上，这需要在对每个随机变量进行研究以外，还要对它们之间的关系加以关注，由此就引出了多维随机变量的概念.

定义1设E是一个随机试验，它的样本空间S={e}，设Xi=Xi(e)，i=1,2,…,n，是定义在S上的n个随机变量，由它们构成的一个向量(X1,X2,…,Xn)叫做n维随机向量或n维随机变量（ndimensional random variable）.

特殊地，当n=2时，(X1,X2)构成一个二维随机变量，通常记做(X,Y).本书围绕二维随机变量展开讲解，三维及更高维的情况与此类似.

例如，向某个平面区域随机打点，描述该点的位置，需要两个随机变量X(e),Y(e)分别表示该随机点的横、纵坐标，则该点的坐标(X,Y)就构成一个二维随机变量.在研究某一地区成年男子身体状况时，每位成年男子的身高X(e)和体重Y(e)就构成一个二维随机变量(X,Y)；考察某一地区的气候状况时，该地区每天的日平均气温X(e)和日平均湿度Y(e)就构成一个二维随机变量(X,Y).

注意: 必须是针对同一个样本点e的X(e)和Y(e)，才能构成一个二维随机变量.

对于二维随机变量，仍然是通过分布函数、分布律和概率密度这三个工具来研究取值规律的.

与一维随机变量类似，首先给出二维随机变量的分布函数的定义.

定义2设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x，y，称二元函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}（3.1.1）为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数(joint distribution function).

类似的，可以有n维随机变量分布函数的定义.

定义3n维随机变量(X1,X2,…,Xn)，对于任意实数x1,x2,…,xn，称n元函数F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}（3.1.2）为随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数，或(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数.

下面以二维随机变量为例，对分布函数加以深入研究. 如果把二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，式（3.1.1）右端可以理解为随机点落入平面区域D={(X,Y)|X≤x,Y≤y}的概率，即以点(x,y)为右上端点的无穷矩形区域内的概率.如图31阴影部分所示.

由此可知，一旦给出了F(x,y)，就可以计算事件{x1图32

其次，分布函数F(x,y)具有如下基本性质:

(1) 分布函数F(x,y)是关于x（或y）的单调不减函数，即对于任意固定的y，当x1(2) 0≤F(x,y)≤1，且F(－∞,－∞)=limx→－∞

y→－∞F(x,y)=0；

F(+∞,+∞)=limx→+∞

y→+∞F(x,y)=1；

对于任意固定的y，F(－∞,y)=limx→－∞F(x,y)=0；

对于任意固定的x，F(x,－∞)=limy→－∞F(x,y)=0.这四个式子，可以运用分布函数的几何意义加以解释.将图31中无穷矩形的上边界向下无限平移（即y→－∞），则“随机点(X,Y)落在这个矩形内”趋于不可能事件，其概率趋于0，即F(x,－∞)=0.当上边界、右边界分别向上、向右无限平移，无穷矩形几乎扩展到全平面，则“随机点(X,Y)落在这个矩形内”趋于必然事件，其概率趋于1，即F(+∞,+∞)=1.

(3) F(x,y)关于x（或y）右连续，即

F(x,y)=F(x+0,y)=F(x,y+0)，x∈R,y∈R.

(4) 对任意(x1,y1)，(x2,y2)，x1（2）求P{0解（1）由二维随机变量分布函数的性质可知:F(+∞,+∞)=AB+π2C+π2=1；

y∈R,F(－∞,y)=AB－π2C+arctany3=0；

x∈R,F(x,－∞)=AB+arctanx3C－π2=0.由第一个等式可知A≠0，B+π2≠0，C+π2≠0.而第二个等式对于任意的实数y均成立，

第三个等式对于任意的实数x均成立，由此可知B=π2，C=π2.代入第一个等式可知A=1π2.即(X,Y)的分布函数为F(x,y)=1π2π2+arctanx2π2+arctany3.（2）由性质(4)可知:P{0=1π2π2+π4π2+π2－1π2π2+0π2+π2

－1π2π2+π4π2+π4+1π2π2+0π2+π4

=116.与第2章中对一维随机变量的研究一样，二维随机变量也主要研究离散型和连续型两类随机变量.二、二维离散型随机变量及其分布律

定义4如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限对，则称(X,Y)是二维离散型的随机变量.

如果二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取值为(xi,yj)，i,j=1,2,…，则称P{X=xi,Y=yj}=pij，i,j=1,2,…（3.1.4）为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律(joint distribution law).

与一维的情况类似，二维离散型随机变量的分布律也可以用表格表示，如下表所示.X

Yx1x2…xi…y1p11p21 …pi1…y2p12p22 …pi2…︙︙︙︙yjp1jp2j…pij…︙︙︙︙

二维随机变量(X,Y)具有如下性质:

(1) pij≥0，i,j=1,2,…；

(2) ∑∞i=1∑∞j=1pij=1.

如果二维随机变量(X,Y)的分布律如式（3.1.4）所示，则其分布函数为F(x,y)=∑xi≤x∑yj≤ypij.（3.1.5）其中，∑xi≤x∑yj≤ypij表示对不大于x的xi和不大于y的yj所对应的pij求和.

例2设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1～X中等可能地取一个整数值，试求(X,Y)的分布律.

解由乘法公式可得pij=P{X=i,Y=j}.

当i当i≥j时，pij=P{Y=jX=i}·P{X=i}=1i×14.

于是(X,Y)的联合分布律为X

Y12341141811211620181121160001121160000116

三、二维连续型随机变量及其联合概率密度

定义5设F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数，如果存在非负函数f(x,y)，使得对任意实数x,y都有F(x,y)=∫x－∞∫y－∞f(u,v)dudv，（3.1.6）则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或X与Y的联合概率密度(joint probability density).

二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)具有下列性质:

(1) f(x,y)≥0；

(2） ∫+∞－∞∫+∞－∞f(x,y)dxdy=F(+∞,+∞)=1；

(3) 若f(x,y)在点(x,y)处连续，则有2F(x,y)xy=f(x,y)；(4) 设D为xOy平面上任一区域，点(X,Y)落在D中的概率为P{(X,Y)∈D}=Df(x,y)dxdy.在空间解析几何中，z=f(x,y)表示空间的一个曲面，由性质(2)可知，介于它和xOy平面之间的无限空间立体的体积为1；由性质(4)可知，点(X,Y)落在区域D中的概率等于以D为底，以z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积.

与一维随机变量的结论类似，当一个二元函数f(x,y)满足性质(1)和性质(2)时，它一定是某个二维连续型随机变量的概率密度.

例3设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=Ae－12(x+y),x≥0,y≥0,

0,其他.求: （1）常数A；（2）分布函数F(x,y)；（3） P{X+Y≤2}.

解（1）由二维连续型随机变量概率密度的性质(2)可知:∫+∞－∞∫+∞－∞f(x,y)dxdy=∫+∞0∫+∞0Ae－12(x+y)dxdy=1. 则A=14，故(X,Y)的概率密度为f(x,y)=14e－12(x+y),x≥0,y≥0,

0,其他.（2） F(x,y)=∫x－∞∫y－∞f(u,v)dudv

=14∫x0∫y0e－12(u+v)dudv,x≥0,y≥0,

0,其他

=(1－e－x2)(1－e－y2),x≥0,y≥0,

0,其他.

……

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