本书从面向高等教育大众化的角度出发, 介绍数行列式、矩阵、线性方程组、向量、矩阵的特征值、特征向量及二次型的基础知识, 帮助养学生掌握线性代数的基本理论和基本解题方法, 提高解决问题的能力。

　　随着科学技术的不断发展以及交叉学科的进一步融合，线性代数涉及的许多内容，如行列式、矩阵、线性方程组的*优解、特征值与特征向量及二次型等，在理、工、农、医、经济、管理等领域的理论研究与实际应用中都发挥着重要的作用。
　　第2版是对2015年4月第1版的修订。修正了第1版的一些错误与不妥之处，基本保持了第1版的风格与体系。“线性代数”课程是普通高校各专业大学生必修的一门数学基础理论课程，本课程不仅可为学生进一步学习提供必要的数学基础，而且能使学生的抽象思维能力得到进一步训练，同时它还可为后续专业课程的学习奠定理论基础。通过学习本课程，学生能够不断增强创新意识，全面提高学生运用数学方法分析问题、解决问题的能力。
　　本书根据教育部《高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划》的精神和要求，总结作者多年讲授线性代数课程的实践经验编写而成。编写中本着重视概念、侧重计算、强调应用的指导思想，力求做到结构严谨、概念准确、由浅入深、简洁明白、通俗易懂、适于自学。

　　随着科学技术的不断发展以及交叉学科的进一步融合，线性代数涉及的许多内容，如行列式、矩阵、线性方程组的最优解、特征值与特征向量及二次型等，在理、工、农、医、经济、管理等领域的理论研究与实际应用中都发挥着重要的作用。
　　第2版是对2015年4月第1版的修订。修正了第1版的一些错误与不妥之处，基本保持了第1版的风格与体系。“线性代数”课程是普通高校各专业大学生必修的一门数学基础理论课程，本课程不仅可为学生进一步学习提供必要的数学基础，而且能使学生的抽象思维能力得到进一步训练，同时它还可为后续专业课程的学习奠定理论基础。通过学习本课程，学生能够不断增强创新意识，全面提高学生运用数学方法分析问题、解决问题的能力。
　　本书根据教育部《高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划》的精神和要求，总结作者多年讲授线性代数课程的实践经验编写而成。编写中本着重视概念、侧重计算、强调应用的指导思想，力求做到结构严谨、概念准确、由浅入深、简洁明白、通俗易懂、适于自学。
　　本书在第1版的基础上进行了修改，参加第2版修订工作的有，关凯老师(执笔第1章、第4章)，罗蕾老师(执笔第2章、第3章)，马鸿老师(执笔第5章)，纪德云老师(执笔第6章)，最后由纪德云老师修改定稿。在修订过程中，承蒙马毅老师的大力帮助，在此表示衷心感谢！
　　由于编者水平有限，书中难免还有不妥之处，敬请读者批评指正。
　　编者

第1章 行列式 1 
1.1 二阶与三阶行列式 1 
1.2 排列 4 
1.3 n阶行列式 5 
1.4 行列式的性质 8 
1.5 行列式按行(列)展开 14 
1.6 克莱姆法则 19 
习题 22 
第2章 矩阵及其运算 25 
2.1 矩阵的概念 25 
2.2 矩阵的运算 27 
2.2.1 矩阵的加法 27 
2.2.2 数与矩阵的乘法 28 
2.2.3 矩阵与矩阵的乘法 28 
2.2.4 矩阵的转置 31 
2.2.5 矩阵的行列式 32 
2.3 可逆矩阵 33 
2.4 矩阵的分块 37 
习题 42 
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 47 
3.1 矩阵的初等变换 47 
3.2 初等变换和矩阵的逆矩阵 53 
3.3 矩阵的秩 56 
3.4 线性方程组 59 
习题 64 
第4章 向量组的线性相关性 71 
4.1 向量组及其线性组合 71 
4.2 向量的线性相关性 74 
4.3 极大无关组与向量组的秩 78 
4.4　线性方程组解的结构 83 
4.5 向量空间 88 
习题 89 
第5章 特征值和特征向量 矩阵的相似 93 
5.1 矩阵的特征值和特征向量 93 
5.2 相似矩阵 97 
5.3 实对称矩阵的对角化 99 
习题 102 
第6章 二次型 105 
6.1 二次型及其矩阵表示法 105 
6.2 标准形 107 
6.3 规范形 113 
6.4 正定二次型与正定矩阵 114 
习题 118 
习题参考答案 120 
参考文献 135 

　　第1章 行 列 式
　　最初的行列式理论是人们从求解线性方程组的过程中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用。本章我们主要讨论以下几个问题。
　　(1) 行列式的定义；
　　(2) 行列式的基本性质及计算方法；
　　(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)。
　　1.1 二阶与三阶行列式
　　设有二元线性方程组
　　(1.1)
　　使用加减消元法求解该方程组未知数的值，当时，可得
　　(1.2)
　　这就是求解二元线性方程组的一般公式。但这个公式很繁杂，不容易记忆。为此我们引入新的运算符号来表示式(1.2)这个结果，这就是行列式的起源。我们称
　　为二阶行列式。它含有两行两列。横排称为行，竖排称为列。
　　数(i=1,2；j=1,2)为二阶行列式的元素，元素的第一个下标i表示这个元素所在的行数，称为行标；第二个下标j表示这个元素所在的列数，称为列标。
　　从上述定义得知，二阶行列式是这样两项的代数和：是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号。可参考图1.1来记忆。
　　图1.1
　　根据二阶行列式的定义，式(1.2)中的两个分子也可写成二阶行列式，即
　　设
　　，，
　　当时，则方程组(1.1)的解的表达式(1.2)可以表示成
　　， (1.3)
　　式(1.3)中分母的行列式是由方程组(1.1)中未知数的系数按其原有的相对位置排成的，称为系数行列式；的分子行列式可以看成是把系数行列式的第1列换成方程组(1.1)中的常数项得到的，而的分子行列式则可以看成是把系数行列式的第2列换成式(1.1)中的常数项得到的。
　　例1.1 用二阶行列式解线性方程组
　　解 由于
　　因此
　　，
　　对于三元一次线性方程组
　　(1.4)
　　可引入三阶行列式的概念。我们称
　　(1.5)
　　为三阶行列式。它有三行三列，共六项的代数和。这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号，如图1.2所示。
　　=
　　图1.2
　　对于三元一次线性方程组(1.4)的求解，也有类似二元线性方程组的解的表达式(1.3)的结论。
　　设
　　，，，
　　当时，方程组(1.4)有解，且解可简单地表示成
　　，， (1.6)
　　例1.2 计算
　　解 由三阶行列式的定义得
　　例1.3 解线性方程组
　　解
　　，
　　，
　　由式(1.6)得
　　例1.4 满足什么条件时有
　　(其中均为实数)
　　解
　　由题知，所以a、b须同时等于0。
　　因此，当且时，给定的行列式等于0。
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