本书由近百个“无字证明”组成。无字证明（Proofs Without Words）也叫作“无需语言的证明”，一般是指仅用图像而无需语言解释就能不证自明的数学结论。无字证明往往是指一个特定的图片，有时也配有少量解释说明。本书正是因为图片丰富而趣味十足，所以取名为数学写真集。
本书是数学爱好者的休闲读物，也是中学生和大学生的课外参考书，还是数学教师的教学素材。
This work was originally published in English under the title, Proofs Without Words, III: Further Exercises in Visual Thinking.2015 held by the American Mathematical Society. All rights reserved. The present translation was created by China Machine Press under authority of the American Mathematical Society and is published by permission.
北京市版权局著作权登记 图字：01-2016-8122号。
前言
一个无趣的证明可以用一个几何类比作为一个补充，这样定理的优美性和正确性几乎瞥一眼就能看得到。——马丁•加德纳
在美国数学协会1993年出版《数学写真集（第1季）—无需语言的证明》后的一年，威廉•德汉姆在他的《数学领域——一次按字母顺序排列的伟大证明、问题及知名学者的数学之旅》一书中写道：
数学家欣赏的证明是灵巧的，但是数学家特别欣赏的证明是既灵巧又经济的。这些证明仅需很少的论证，而即使是这些很少的论证也能够直接指向问题的核心，并且一针见血地达到证明的目标。这样的证明确实是优美的。
数学的优美不同于其他创意的活动。它和莫奈用很少且灵巧的绘画技巧在帆布上描绘出法国的风景有些类似，也和用三行俳句诗去描绘出比其语言能够达到的多得多的意境类似。优美的极致是艺术而非数学性质。
一种被数学家们叫作“无字证明”的东西就能实现极致的优美。在“无字证明”中富有启发意义的构图立刻传递一种证明而不需要任何解释，这种感觉让人感到再优美不过了。
自从上述书籍出版后，第二个合集《数学写真集（第2季）—无需语言的证明》由美国数学协会于2000年出版，而本书是“无字证明”的第三本合集。我必须承认，这本书像前两本一样，必然是不完整的。它并没有包含从第二本合集出版以来的所有的无字证明，也没有包括前两本写真集中忽略的全部。作为美国数学协会期刊的读者，我们深知，新的无字证明在纸媒上出现得很频繁，而且现在还会在互联网上以一种纸媒更优越的形式出现，它可以动还可以与读者交互。
我希望阅读这本合集的读者在发现或者重拾某些数学思想的直观展示的过程中能享受到乐趣。我希望老师们能将书中的内容与学生们分享，我希望每个人都能受到激励和鼓舞，去创造新的无字证明。
致谢：在此我想表达我对贡献无字证明这种数学文化的人们的感谢与感激，他们的名字在本书的第184～187页。没有他们，这本书是不可能存在的。感谢苏珊•斯特普尔斯和她的课堂教学资源团队细心地阅读本书的初稿并提出了许多有益的建议。同时在本书出版过程中也必须感谢美国数学协会的出版人员卡罗尔•巴克斯特、贝弗利•鲁埃迪和萨马莎•韦伯的鼓励、建议以及努力的工作。
罗杰B.尼尔森（Roger B.Nelsen）
路易克拉克大学
俄勒冈州波特兰
原书作者注：1.为了形成一个统一的外观，书中所有图形重新描绘过。在一些例子中标题改变了，并且为了更清楚，增加（减少）了一些阴影和符号。在这一过程中的任何错误都是我的责任。
2.我们用不同的罗马数字区分同一个定理不同的无字证明，而且这种编号次序从《数学写真集（第1季）—无需语言的证明》和《数学写真集（第2季）—无需语言的证明》一直沿用。比如，毕达哥拉斯定理在第1季中有6个，在第2季中还有几个，这个定理在本书中从毕达哥拉斯定理开始编号。
3.有些无字证明是以数学竞赛，比如普特南数学竞赛、哈萨克斯坦国家数学竞赛中的问题与解的形式给出的。但是，具体用这种解法能得多少分我们不能确定。因为，在数学竞赛中，比方说普特南数学竞赛中，要求选手将证明的每个必要步骤都说清楚才能获得满分。
目录
前言
几何与代数1
毕达哥拉斯定理ⅩⅢ3
毕达哥拉斯定理ⅩⅣ4
毕达哥拉斯定理ⅩⅤ5
毕达哥拉斯定理ⅩⅥ6
毕达哥拉斯定理的帕普斯推广7
毕达哥拉斯定理的倒数形式8
一个类似于毕达哥拉斯定理的定理9
四个类似于毕达哥拉斯定理的定理10
直角梯形的毕达哥拉斯定理14
缺角矩形的毕达哥拉斯定理15
海伦公式16
每个三角形有无穷多个内接等边三角形17
每个三角形可以被分割成6个等腰三角形18
更多的等腰分割19
维维安尼定理Ⅱ20
维维安尼定理Ⅲ21
托勒密定理Ⅰ22
托勒密定理Ⅱ23
平行四边形分割中的相等面积24
内部正方形的面积25
平行四边形定律26
借助平行四边形定律得到三角形中线长公式27
两个正方形和两个三角形28
等边三角形内切圆半径29
通过三角形内心的直线30
三角形的面积和外接圆的半径31
外围三角形之外32
和为45°的角33
三等分线段Ⅱ34
面积和恒定的两个正方形35
面积和恒定的四个正方形36
圆里和半圆里的正方形38
圣诞树问题39
“鞋匠之刀”的面积40
“盐窖”的面积41
直角三角形的面积42
正十二边形的面积Ⅱ43
四个月牙形的面积之和等于一个正方形的面积44
月牙形和正六边形45
三棱锥的体积46
代数式的面积Ⅳ47
合比与分比——一个关于比例的定理48
配成完全平方Ⅱ49
坎迪多恒等式50
三角、微积分与解析几何51
两角和或差的正弦（通过正弦定理证明）53
两角差的余弦Ⅰ54
两角和的正弦Ⅳ以及两角差的余弦Ⅱ55
二倍角公式Ⅳ56
欧拉正切半角公式57
三倍角的正弦、余弦公式Ⅰ58
三倍角的正弦、余弦公式Ⅱ59
15°角和75°角的三角函数60
18°角及其整倍数的三角函数61
莫尔韦德等式Ⅱ62
一般三角形中的牛顿公式63
三角形的一个正弦恒等式64
正余函数之和65
正切定理Ⅰ66
正切定理Ⅱ67
想找x+y=xy的一组解？68
secx+tanx的一个恒等式69
正切乘积的和70
三个正切的和与积71
正切的乘积72
反正切的和Ⅱ73
一个图形，五个反正切恒等式74
赫顿和斯特拉尼斯基公式75
一个反正切恒等式76
欧拉反正切恒等式77
函数acost+bsint的极值78
最小面积问题79
正弦的导数80
正切的导数81
一个极限的几何求值Ⅱ82
一个数及其倒数的对数83
单位双曲线围出的等面积区域84
魏尔斯特拉斯替换法Ⅱ85
看，无需换元！86
自然对数的积分87
cos2θ和sec2θ的积分88
一个部分分式分解89
积分变换90
不等式91
算术平均-几何平均不等式Ⅶ93
算术平均-几何平均不等式Ⅷ（通过三角函数证明）94
算术平均-平方平均不等式95
柯西-施瓦茨不等式Ⅱ（用帕普斯定理*）96
柯西-施瓦茨不等式Ⅲ97
柯西-施瓦茨不等式Ⅳ98
柯西-施瓦茨不等式Ⅴ99
关于直角三角形各种半径的不等式100
托勒密不等式101
代数不等式Ⅰ102
代数不等式Ⅱ103
正弦在［0，π］上的次可加性104
正切在［0，π/2）上的超可加性105
和为1的两个数的不等式106
帕多阿不等式107
与e有关的斯坦纳问题108
辛普森悖论109
马尔可夫不等式110
整数与整数求和111
奇数和Ⅳ113
奇数和Ⅴ114
奇数的交错和115
平方和Ⅹ116
平方和Ⅺ117
连续平方数的交错和118
奇数平方的交错和119
阿基米德平方和公式120
通过数三角形计算平方和121
平方数模3122
二阶阶乘的和123
把立方数表示为二重求和124
把立方数表示为等差数列的和125
立方和Ⅷ126
连续立方数的差模6余1127
斐波那契恒等式Ⅱ128
斐波那契地砖129
斐波那契梯形130
斐波那契三角形和梯形131
斐波那契数的平方与立方132
每个八边形数是两个平方数的差133
2的幂134
4的幂的和135
通过自相似证明n的连续幂的和136
每个大于1的四次幂都等于两个不连续三角形数的和137
三角形数的和Ⅴ138
三角形数的交错和Ⅱ139
一串又一串的三角形数140
每第三个三角形数的和141
隔项奇数和与三角形数的和142
三角形数是二项式系数143
关于三角形数的容斥公式144
分拆三角形数145
三角形数恒等式Ⅱ146
三角形数的一个和式147
带权重的三角形数的和148
中心三角形数149
雅各布斯塔尔数150
无穷级数及其他议题151
几何级数V153
几何级数Ⅵ154
几何级数Ⅶ（通过直角三角形证明）155
几何级数Ⅷ156
几何级数Ⅸ157
几何级数的导数Ⅱ158
几何裂项159
交错级数Ⅱ160
交错级数Ⅲ161
交错级数审敛法162
交错调和级数Ⅱ163
伽利略比值Ⅱ164
把筝形裁成扇形165
非负整数解与三角形数166
分割蛋糕167
可重复的无序选择的数目168
一道普特南数学竞赛题的无字证明169
毕达哥拉斯三元组170
毕达哥拉斯四元组171
2的无理性172
Z×Z是可数集173
前n个整数的图论式求和174
二项式系数的图论式分解175
（0，1）和［0，1］有相同的势176
不动点定理177
在空间中，四种颜色是不够的178
文献索引179
英文人名索引184
中文人名索引186
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