本书内容经典,教材体系、内容安排、例题习题配置经过40年的反复锤炼,已被高校教师广泛认可。本次修订在保留原有特色和结构的前提下,作如下修改:修改了一些不够严谨或者不够清晰的表述,删除了一些较难的内容;增加教材与辅导书的关联性,在教材适当的位置提示学生参考辅导书进行学习,以更好的发挥辅导书的作用。
《工程数学:数学物理方程与特殊函数(第五版)》第五版保留了作为“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材的第四版全部内容及结构,只是对书中一些疏漏及不够严谨、不够清晰的表述作了修改,删去了少数多余的或不在研究范围的内容,尽可能地使这本经历了40年的小册子逐渐成为精品之作。
《工程数学:数学物理方程与特殊函数(第五版)》是高等学校理工科各专业本科生的教材,也可作为物理类、工程类有关专业硕士研究生的教材及相关研究人员的参考书。
本书从第一版到现在的第五版整整经历了40个年头。40年来,我对广大同行们给予的支持、帮助、理解、包容表示衷心的感谢。第四版被推荐为“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材后,我就反复地思考这样一个问题:怎样做才对得起“国家级”这三个字?答案只有一个,就是尽最大努力把它做好。
经过认真、仔细地阅读,发现书中仍存在一些疏漏及不够严谨、不够清晰或不够精炼的地方,需要作些修补。此外,为了便于读者较轻松地读懂本书,从第三版起我就本着“温故、启示、巩固”的原则,编写了与之相对应的辅导材料《数学物理方程与特殊函数学习指南与习题解答》(简称《学习指南》)。除了对教材中所有习题作了启示和详细解答外,还对需要用到、读者已经学过但可能被遗忘的知识作了简要回顾,对书中重要的内容作了力所能及的点评,对一些建议读者自己完成的推演、验证工作也作了必要的填补,精选了30道复习题。应该说,为了写好辅导书我还是花了一番心血的。但教材中并未反映出两本书之间的关联,给读者带来了一些不便。
针对上面所述两个方面的问题,这次修订主要做了两件事:
1.对全书作了认真、细致的审订。填补了极少数的遗漏;修改了一些不够严谨或者不够清晰的表述;删去了累赘的或不在研究范围的内容;对书中的文字作了几乎是逐字逐句的审校、订正,力求做到准确、易读。
2.为便于读者借助《学习指南》阅读教材,凡教材中没必要再展开讨论但《学习指南》中已给出了明确表述的内容,在相关的页面都加了脚注,体现了两本书的关联性。
此外,为了拓宽读者的视野,本版增加了两个以二维码形式呈现的内容,它们是两端固定弦的自由振动问题解的存在性证明及勒让德多项式的罗德里格斯表达式的推导。这次修改得到了高等教育出版社高等教育理工出版事业部数学分社有关同志的支持。特别是,于丽娜、蒋青、李茜等同志为此付出了辛勤的劳动。在此向她们及所有关心和帮助本书再版的同志表示诚挚的感谢。
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
§1.1 基本方程的建立
§1.2 初值条件与边界条件
§1.3 定解问题的提法
习题一
第二章 分离变量法
§2.1 有界弦的自由振动
§2.2 有限长杆上的热传导
§2.3 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题
§2.4 非齐次方程的解法
§2.5 非齐次边界条件的处理
*§2.6 关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论
习题二
第三章 行波法与积分变换法
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
§3.2 三维波动方程的泊松公式
3.2.1 三维波动方程的球对称解
3.2.2 三维波动方程的泊松公式
3.2.3 泊松公式的物理意义
§3.3 傅里叶变换与拉普拉斯变换
3.3.1 傅里叶积分公式与傅里叶变换
3.3.2 傅里叶变换的基本性质
3.3.3 8函数及其傅里叶变换
3.3.4 拉普拉斯变换及其基本性质
3. 3.5 拉普拉斯变换的反演
§3.4 积分变换法举例
习题三
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
§4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
§4.2 格林公式
§4.3 格林函数
§4.4 两种特殊区域的格林函数及狄利克雷问题的解
4.4.1 半空间的格林函数
4.4.2 球域的格林函数
习题四
第五章 贝塞尔函数
§5.1 贝塞尔方程的引出
§5.2 贝塞尔方程的求解
§5.3 当n为整数时贝塞尔方程的通解
§5.4 贝塞尔函数的递推公式
§5.5 函数展开成贝塞尔函数的级数
5.5.1 贝塞尔函数的零点
5.5.2 贝塞尔函数的正交性
§5.6 贝塞尔函数应用举例
*§5.7 贝塞尔函数的其他类型
5.7.1 第三类贝塞尔函数I
5.7.2 虚宗量的贝塞尔函数
5.7.3 开尔文函数(或称汤姆孙函数)
*§5.8 贝塞尔函数的渐近公式
习题五
第六章 勒让德多项式
§6.1 勒让德方程的引出
§6.2 勒让德方程的求解
§6.3 勒让德多项式
§6.4 函数展开成勒让德多项式的级数
6.4.1 勒让德多项式的正交性
6.4.2 函数展开成勒让德多项式的级数
*§6.5 连带的勒让德多项式
习题六
第七章 数学物理方程的近似解法
§7.1 差分解法
7.1.1 将微分方程化成差分方程
7.1.2 拉普拉斯方程的差分格式
7.1.3 热传导方程的差分格式
7.1.4 波动方程的差分格式
§7.2 变分方法
7.2.1 变分方法的物理背景
*7.2.2 变分问题的可解性
7.2.3 里茨一伽辽金方法
习题七
第八章 非线性偏微分方程
§8.1 极小曲面问题
*§8.2 非线性偏微分方程举例
§8.3 激波
§8.4 KdV方程 孤立波
习题八
附录A r函数的基本知识
附录B 傅里叶变换与拉普拉斯变换简表
部分习题参考答案