双树定理和展开图法——符号电路拓扑分析的一种新方法_尹宗谋_9787513074247

电路分析是电路设计、优化和应用的基础，采用拓扑方法求解以元件符号参数描述的符号电路，则是电路理论的一个重要分支。笔者涉及这一课题，经过多年的研究，发现电路的固有多项式中的有效项与电路图中满足一定条件的一对树有着一一对应的关系，定义了有效树和有效双树的概念，提出并证明了网络多项式展开的双树定理，给出了寻找全部有效树和有效双树并确定其值的展开图法。该方法直接对电路的拓扑图进行运算，通过边的短路、开路、“着色”和“去色”运算，将图分解、展开、化简，由图的展开式得到图的权表达式，从而得到网络多项式。该方法适用于包含四种受控源和零任偶等有源元件在内的一般线性有源电路，不出现冗余项，在寻找有效项的同时确定该项的正负系数。本书偏重基础理论和基本算法，内容独立完整，知识自主创新，而且自成体系。本书的内容基本是个人原创，定理的证明和展开图法的完善也是首次公开。

电子电路和集成电路是现代科学与技术发展的重要成果,电路分析则是电路设计和应用的基础,其中线性有源电路的分析又是电路分析的基础.线性非时变集中参数电路的数学模型为线性代数方程组,基于数值运算的线性电路分析理论和方法已经相当成熟和完善.但是数值分析给出的系统响应仅仅是单纯的数值或者依据重复计算绘制的波形,不能完整地反映元件参数和系统响应之间的对应关系,更不能反映系统结构和响应的对应关系,因而在很多应用中是无能为力的.符号电路分析用元件的符号参数代替元件的数值参数,求解由元件符号参数组成的符号方程组,得到由符号参数表达式描述系统响应的网络函数,反映了元件参数与响应的对应关系,广泛用于电路的设计和优化、电路的容差分析和故障诊断等.如果全部元件参数都用符号表示,称为全符号分析;如果部分元件用符号参数,称为部分符号分析;如果只是把拉普拉斯算子s 作为符号,那就是s符号分析.与数值分析相比,符号分析是非常困难的任务,计算复杂性随电路规模呈指数增长,需要大量的计算时间和内存空间.随着大规模集成电路和计算机技术的飞速发展,电路的计算机辅助分析和设计已成为电路理论的一个重要分支和热门领域,符号电路分析理论和方法受到重视,得到了快速的发展.符号电路分析可以采用数值方法,如行列式展开法、多项式插值法和参数抽取法等.这类方法适应于符号参数较少的电路,其结果不能完整地反映电路参数和结构与系统响应的关系.利用电路的拓扑结构图,采用图的运算求得系统响应是符号电路分析的主要方法.常用的拓扑方法有信号流图法、树列举法、二分图法(BDD)等.[１４]信号流图法以Manson公式为代表.它把电路的代数方程转换为信号流图,再依据Manson公式,采用图的运算,分别求得系统函数的分母多项式和分子多项式.信号流图法适用性好,只要能列出线性代数方程组就能使用,但是计算过程中会出现大量相互抵消的冗余项,而且信号流图与电路图的结构相差甚远.Coates图和Milke法对Manson法做了改进,促进了信号流图法的发展,但问题并没有完全解决.[５７]树列举法直接在电路图中寻找满足一定条件的生成树,由图的运算,找到满足条件的全部生成树,用树值(树支的导纳参数积)的代数和表示行列式的值.它的运算对象是电路的拓扑图或稍加变换的图,不产生冗余项,因而是符号电路拓扑分析最有效与最常用的方法[１９].树列举法中最著名的当属双图树法.它由原始电路生成电压图和电流图,然后找出两图的共有树,则全部共有树的树支导纳乘积的代数和就是该电路节点导纳行列式的展开式.双图法采用的图接近网络的原图,而且运算过程中不出现冗余项,因而受到重视,得到广泛应用.但是双图法源于电路的节点电压方程,原则上只适用于由导纳型元件和电压控制电流受控源(VCCS)组成的电路.为了改进双图法,许多研究者做了大量的工作,发表了许多文献,其中主要的改进是将其他类型受控源转换成电压控制电流受控源的等效电路,以及使用零任偶元件模型改进和扩展节点电压法等.这样虽然使双图法可以用于一般的有源电路,但增加了图的规模,而且不同网络函数的拓扑公式难以统一.[１０１２]二分图(BinaryDecisionDiagram,BDD)是便于计算机处理的一种数据结构,它采用一分二、二分四的结构,逐层逐级分支,构成倒树状的结构图.CJRichardShi等将BDD 用于行列式的展开,提出网络拓扑分析的DDD(DeterminantDecisionDiagrams)法,发表了许多论文,成为当时的热门话题[１３１５].这种方法适合较大规模的电路,便于计算机计算,但它属于网络行列式的图解法,不是通过电路图自身的运算求解网络行列式的方法,因而有一定的局限性.２０世纪７０、８０年代,随着陈树柏?网络图论及其应用?的出版,在国内掀起了网络图论和符号电路分析的研究热潮[１６１８].在学习和工作中,作者接双树定理和展开图法———符号电路拓扑分析的一种新方法触了这方面的知识,并尝试进行符号电路拓扑分析的学习与研究,从电路的表格方程着手,寻找符号电路分析的新途径,试图改进现有的方法.经过多年研究,首先指出有效项的充分必要条件是该符号组合对应的两个边集构成网络的一对树,进而发现网络行列式中有效项与网络图中的一对树有着一一对应的关系,提出有效树和有效双树的概念.接着致力于确定双树系数正负的拓扑算法,提出了网络行列式展开的双树定理,并给出了应用双树定理分析电路的拓扑方法[１９２１].随后又借鉴DDD 模式,通过图的开路、短路和“着色”运算,依照各个元件参数,逐级地将电路图分解和化简,构成网络展开图,进而由展开图得到网络行列式,解决了双树定理的算法和应用问题,形成了独有的展开图法[２２].以后,虽然没有放弃研究工作,然而由于本人水平、能力和条件有限,加之２００８年退休,后续工作没有什么进展,研究几乎中断.前几年,看到施国勇(ShiGY)等学者提出了适用树对的概念,采用图对逐级分解化简,改进了DDD算法,构成了GPDD (GraphＧPairDecisionDiＧagram)算法,在国际权威期刊上发表了多篇论文[２３２６],而且出版了专著[２７].作者为此高兴,看到自己感兴趣的研究课题又有新的进展,与己相近的方法又有重要成果发表,但又不甘心就此罢休.通过查阅文献、分析比较后发现,GPDD的理论和方法尚未尽善尽美,还需改进和完善,而且与自己的思路和方法还是有相当大的区别,不能替代自己的工作,双树定理和展开图法还有立足之地.受他们研究成果的激励,作者重新开始了中断多年的研究,并取得新的进展.首先,采用新的思路证明了双树定理,使原先篇幅过长、难以理解、没能发表的证明过程得以简化并更加严谨;其次,完善“着色”运算,增加“去色”运算,在图展开过程中同时解决正负号的难题;另外,多端元件的展开模型和应用也有了新的结果.采取出书的方式,将自己多年的研究成果完整地奉献给读者和社会,是本书的用意,也是作者多年的梦想.本书正文包括９章,前５章介绍概念、理论、方法和应用,包括网络分析和网络图论的基础知识、双树的概念及双树定理的内容、网络展开图的构成、由展开图获得网络多项式的方法、基于双树定理和展开图法的网络分析应用、多端元件的展开模型和应用等;后４章给出了证明双树定理所需的前提、基础知识和关键技术,包括基于２b 表格的网络方程和行列式的概念、网络基本关联矩阵的属性和若干引理、各类基本元件的展开模型,在此基础上,证明了双树定理,并阐明了展开图法的理论依据.最后做了简要的总结. 由于个人能力和精力有限,本书内容仅限于基础理论和基本方法的研究,以及电路拓扑分析的应用和举例,重点在于介绍作者自己的想法和研究成果, 力求讲清理论,阐明方法,恰当举例,解决是什么、为什么及有什么用、怎么用的问题,对此领域研究的历史和现状没有详尽地论述,对于集成电路的分析和设计实例也很少涉及.

第１章网络拓扑分析基础 ……………………………………………………………… １１.１电路分析基础………………………………………………………………………… １１.１.１电路和电路元件……………………………………………………………… １１.１.２电路方程的建立和求解……………………………………………………… ３１.１.３网络函数和网络参数………………………………………………………… ５１.１.４封闭网络和增广网络………………………………………………………… ６１.１.５网络行列式的本质一致性…………………………………………………… ８１.１.６网络固有多项式 …………………………………………………………… １０１.２网络图论基础 ……………………………………………………………………… １１１.２.１图的一般概念 ……………………………………………………………… １１１.２.２边的短路和开路运算与找树的展开图法 ………………………………… １４１.２.３基本割集矩阵和基本回路矩阵 …………………………………………… １７１.２.４树偶图的BT值 …………………………………………………………… １９第２章双树理论 ………………………………………………………………………… ２５２.１网络图的约定 ……………………………………………………………………… ２５２.２有效树 ……………………………………………………………………………… ２６２.２.１有效树的定义 ……………………………………………………………… ２６２.２.２寻找有效树的算法 ………………………………………………………… ２８２.３有效双树 …………………………………………………………………………… ２８２.３.１有效双树的定义 …………………………………………………………… ２８２.３.２寻找有效双树的算法 ……………………………………………………… ３１２.４双树定理 …………………………………………………………………………… ３３２.４.１网络多项式与有效双树的关系定理 ……………………………………… ３３２.４.２有效树的系数定理 ………………………………………………………… ３５２.４.３有效双树的系数定理 ……………………………………………………… ３５２.４.４双树定理 …………………………………………………………………… ３６２.５基于双树定理的网络分析 ………………………………………………………… ３７第３章网络展开图 ……………………………………………………………………… ４２３.１图的运算 …………………………………………………………………………… ４２３.１.１图的着色运算 ……………………………………………………………… ４２３.１.２图的去色运算 ……………………………………………………………… ４３３.１.３图的有效性 ………………………………………………………………… ４５３.１.４图的运算法则 ……………………………………………………………… ４５３.２元件的展开模型 …………………………………………………………………… ４６３.２.１阻抗和导纳 ………………………………………………………………… ４７３.２.２ E、J、V、C 元件 ………………………………………………………… ４７３.２.３受控源 ……………………………………………………………………… ４９３.２.４零任偶(Nullor)……………………………………………………………… ５０３.３网络图的展开 ……………………………………………………………………… ５１３.３.１网络图展开的过程和算法 ………………………………………………… ５１３.３.２网络展开图的表达式 ……………………………………………………… ５４３.４网络展开图的权 …………………………………………………………………… ５５３.４.１运算符的权 ………………………………………………………………… ５５３.４.２路径的权 …………………………………………………………………… ５６３.４.３网络展开图的权 …………………………………………………………… ５７３.５网络展开图与网络多项式 ………………………………………………………… ５８第４章基于展开图的网络拓扑分析 ………………………………………………… ５９４.１网络响应的拓扑公式 ……………………………………………………………… ５９４.２网络函数的拓扑公式 ……………………………………………………………… ６４４.２.１单口网络的策动点函数 …………………………………………………… ６４４.２.２双口网络的传递函数 ……………………………………………………… ６６４.３双口网络参数的拓扑公式 ………………………………………………………… ６９４.３.１ Z 参数 ……………………………………………………………………… ７０４.３.２ Y 参数 ……………………………………………………………………… ７２４.３.３ H 参数 ……………………………………………………………………… ７３４.３.４ A 参数 ……………………………………………………………………… ７４４.４ H(s)的生成 ……………………………………………………………………… ８０４.５参数抽取 …………………………………………………………………………… ８３第５章多端元件的展开模型 ………………………………………………………… ８８５.１常用元件的展开模型 ……………………………………………………………… ８８５.１.１理想变压器 ………………………………………………………………… ８８５.１.２耦合互感 …………………………………………………………………… ９１５.１.３回转器 ……………………………………………………………………… ９４５.１.４运算放大器 ………………………………………………………………… ９６５.２双口网络的展开模型 ……………………………………………………………… ９９第６章网络方程、网络矩阵和网络行列式 ……………………………………… １０３６.１基尔霍夫方程和网络关联矩阵…………………………………………………… １０３６.２元件约束方程和网络参数矩阵…………………………………………………… １０５６.３２b表格方程、网络矩阵和网络行列式 ………………………………………… １０８第７章网络关联矩阵的拓扑性质…………………………………………………… １１１７.１关联矩阵的基本属性……………………………………………………………… １１１７.１.１ A 矩阵的列属性…………………………………………………………… １１１７.１.２ A矩阵的正则性 …………………………………………………………… １１２７.１.３ A 矩阵的大子阵和大子式………………………………………………… １１３７.１.４ A 矩阵的等值初等变换…………………………………………………… １１３７.２列属性和参考树的变换…………………………………………………………… １１４７.２.１列属性的变换……………………………………………………………… １１４７.２.２参考树的变换……………………………………………………………… １１７７.３删列和消列运算…………………………………………………………………… １１８７.３.１删列运算…………………………………………………………………… １１８７.３.２消列运算…………………………………………………………………… １１９７.４大子式detAk非零的充要条件…………………………………………………… １２２７.４.１ detQk和detBk非零的充要条件 ………………………………………… １２２７.４.２ detAk非零的充要条件 …………………………………………………… １２３７.５大子式的拓扑公式………………………………………………………………… １２４７.５.１互补大子式detAk ………………………………………………………… １２４７.５.２非互补大子式detAk ……………………………………………………… １２８第８章基本元件展开分析 …………………………………………………………… １３５８.１单口元件的展开…………………………………………………………………… １３５８.１.１导纳元件Yi ……………………………………………………………… １３７８.１.２阻抗元件Zi ……………………………………………………………… １３８８.１.３ E 和C 元件 ……………………………………………………………… １３９８.１.４ J和V 元件………………………………………………………………… １３９８.２双口元件的展开…………………………………………………………………… １４０８.２.１ VCCS ……………………………………………………………………… １４０８.２.２ CCCS ……………………………………………………………………… １４５８.２.３ VCVS……………………………………………………………………… １４８８.２.４ CCVS ……………………………………………………………………… １５１８.２.５零任偶……………………………………………………………………… １５４８.３各类元件的展开结果……………………………………………………………… １５５第９章双树定理的证明 ……………………………………………………………… １５７９.１网络行列式展开的代数公式……………………………………………………… １５７９.２有效项参数定理证明……………………………………………………………… １５９９.３有效树系数定理证明……………………………………………………………… １６１９.４有效双树系数定理证明…………………………………………………………… １６３９.５展开图法与双树定理……………………………………………………………… １６６结语……………………………………………………………………………………１６７参考文献 …………………………………………………………………………………１７０

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