本书是一本介绍数值方法的教材, 除了介绍传统数值分析课程所讲授的插值与逼近、数值微分与数值积分、线性与非线性方程组求解、矩阵特征值计算、常微分方程数值方法等, 还介绍了偏微分方程的三大类数值离散方法(有限差分方法、有限元方法、无网格方法). 本书不仅强调算法的推导演算, 还注重介绍算法的收敛性理论和实际应用. 每章最后均附有一些需要理论推导或上机实验的习题, 供读者选用. 本书适合理工科专业的本科生、研究生以及从事科学工程计算的技术人员阅读.

刘智永，2014年毕业于西安交通大学计算数学专业，获博士学位；2017年-2019年复旦大学博士后；现任宁夏大学数学统计学院副教授、硕士生导师，入选"宁夏青年人才托举工程”。主要研究偏微分方程的数值方法，包括多重网格方法、径向基函数多尺度配点算法、强非线性Monge-Ampere 程的数值求解研究。在国内外重要学术期刊上发表 SCI 检索论文18篇。主持国家自然科学项目2项、宁夏省自然科学基金重点项目2项、宁夏省高等学校科研项目（优秀青年教师培育基金项目）1项、中国博士后科学基金面上项目1项。

第1章 插值与逼近.......................................................1
1.1 问题介绍..........................................................1
1.2 多项式插值.......................................................2
1.2.1 概述.......................................................2
1.2.2 Lagrange插值..............................................4
1.2.3 Newton插值...............................................6
1.2.4 分片线性插值..............................................8
1.2.5 Hermite插值..............................................10
1.3 径向基函数插值..................................................13
1.3.1 概述......................................................13
1.3.2 再生核空间...............................................16
1.3.3 误差估计..................................................18
1.4 最佳逼近.........................................................20
1.4.1 最小二乘拟合.............................................20
1.4.2 最佳一致逼近.............................................22
1.4.3 最佳平方逼近.............................................23
1.4.4 正交多项式...............................................24
1.5 注记.............................................................26
习题1................................................................27
第2章 数值微分与数值积分.............................................31
2.1 问题介绍.........................................................31
2.2 数值微分.........................................................31
2.2.1 Taylor展开求导...........................................31
2.2.2 插值型求导...............................................33
2.3 数值积分.........................................................35
2.3.1 中点、梯形和Simpson求积公式..........................35
2.3.2 Newton-Cotes求积公式...................................37
2.3.3 复合求积公式.............................................39
2.3.4 Romberg求积公式........................................40
2.3.5 Gauss求积公式...........................................41
2.4 注记.............................................................45
习题2................................................................46
第3章 求解线性方程组..................................................49
3.1 问题介绍.........................................................49
3.2 直接法...........................................................50
3.2.1 LU分解..................................................50
3.2.2 Cholesky分解.............................................52
3.2.3 QR分解..................................................53
3.3 基本迭代法......................................................56
3.3.1 三种基本迭代法...........................................56
3.3.2 收敛性准则...............................................61
3.4 共轭梯度法......................................................62
3.5 注记.............................................................66
习题3................................................................66
第4章 求解非线性方程组...............................................70
4.1 问题介绍.........................................................70
4.2 非线性方程的迭代法.............................................70
4.2.1 二分法....................................................71
4.2.2 不动点迭代...............................................72
4.2.3 Newton迭代..............................................74
4.2.4 割线法....................................................75
4.3 非线性方程组的迭代法...........................................78
4.3.1 基本非线性迭代法.........................................78
4.3.2 Newton迭代法............................................80
4.3.3 Broyden算法.............................................81
4.4 注记.............................................................83
习题4................................................................84
第5章 矩阵特征值计算..................................................86
5.1 问题介绍.........................................................86
5.2 幂方法...........................................................87
5.2.1 乘幂法....................................................87
5.2.2 反幂法....................................................88
5.3 QR迭代.........................................................90
5.4 Rayleigh商迭代..................................................92
5.5 注记.............................................................94
习题5................................................................94
第6章 常微分方程数值方法.............................................96
6.1 欧拉方法.........................................................97
6.2 Runge-Kutta方法...............................................100
6.2.1 方法介绍.................................................100
6.2.2 常用的Runge-Kutta方法................................101
6.3 线性多步法.....................................................105
6.4 注记............................................................106
习题6...............................................................107
第7章 有限差分方法...................................................109
7.1 偏微分方程及其分类............................................110
7.2 抛物型方程有限差分方法........................................112
7.2.1 1-D抛物型方程离散.....................................112
7.2.2 稳定性、相容性和收敛性.................................114
7.2.3 2-D抛物型方程离散.....................................117
7.2.4 ADI格式................................................118
7.3 双曲型方程有限差分方法........................................120
7.3.1 基本差分方法............................................120
7.3.2 守恒律...................................................122
7.3.3 二阶双曲型方程..........................................123
7.4 椭圆型方程有限差分方法........................................126
7.4.1 基本差分方法............................................126
7.4.2 其他应用.................................................127
7.5 注记............................................................129
习题7...............................................................129
第8章 有限元方法.....................................................132
8.1 一维椭圆型方程离散............................................132
8.2 二维椭圆型方程离散............................................135
8.3 有限元收敛理论.................................................137
8.3.1 变分问题解的存在性.....................................137
8.3.2 Sobolev空间.............................................138
8.3.3 有限元插值理论..........................................140
8.3.4 误差估计.................................................142
8.4 一些常见有限元.................................................143
8.4.1 P1,P2有限元............................................143
8.4.2 Q1,Q2有限元............................................145
8.4.3 其他有限元..............................................147
8.5 注记............................................................149
习题8...............................................................149
第9章 无网格方法.....................................................152
9.1 Kansa方法.....................................................152
9.2 对称配点方法...................................................153
9.3 Galerkin配点方法..............................................154
9.4 多尺度配点方法.................................................155
9.5 基本解方法.....................................................157
9.5.1 PDEs的基本解..........................................157
9.5.2 齐次方程的求解..........................................158
9.5.3 非齐次方程的求解.......................................160
9.6 注记............................................................161
习题9...............................................................161
参考文献.................................................................165