本书为数学科普类读物，讲述初中数学学习中涉及的数学史。 以数学家们孜孜不倦的探索过程为主线，讲述初中数学内容涉及的数学史上曾经发生过的各种轶事。 在讲故事的过程中，尽可能多地呈现巧妙的数学逻辑思维，力求渗透数学的思想与方法，帮助读者在了解数学知识的发生、发展脉络的基础上，培养出一定的抽象思维能力，进而获得学习数学方面的启示，对数学知识产生浓厚的兴趣，提高数学学习的积极性。

华东师范大学闵行紫竹基础教育园区各校从学生终身发展的角度，逐渐形成“资源共享、特色共育、学段贯通、全程培养”的特色。各成员校实现了快速、优质的发展，已成为社会认可的优质教育品牌。 值园区建立十周年之际，推出成员校教学教研的探索与实践系列，期望与更多同行分享。

前 言 在当今的数字时代，数学作为一切自然科学的基础，它化繁为简，直击事物本质的思考方法，给很多事物以“透视眼”的思考力度，让很多人从中受益。那些能领悟数学思想方法的人，哪怕就是在日常生活和工作中做起事来也是一通百通，事半功倍，这也就是为什么数学无论是在中考还是在高考中都作为必考学科的原因吧！它可以说是现代人的必备素养，而学好数学常常能让你比别人有更多机会在众人面前脱颖而出！ 数学应该怎么学？事实上，很多学习数学的人会对它产生厌恶、自卑，逐渐地失去学好它的信心，这又是为什么呢？这既不是我们人本身的问题，也不是数学的问题，而是因为我们和数学之间缺失了一座桥梁。 作者从事中学数学教育20多年来，通过观察发现周围人对数学教育的普遍观点是“数学是思维的体操”、是“计算和逻辑”、是“做题和考试”等等。因此，当前中学数学教育培养的数学好学生数学基础扎实但知识面较窄；能攻抽象难题但缺乏解决实际问题的能力；有很强的好胜心但好奇心不足。这些现象导致了学生认为数学是一门“与实际无关”“枯燥乏味”“抽象晦涩”的学科，从而大部分学生为了升学不得不学，升学考试结束也就快速抛之脑后了！ 面对上述情况，我们以往的策略是通过教研活动让老师们不断改进教学方法，以便让思维的体操不那么难学；通过教育学生要刻苦学习，以便老师在“灌输”或“引导”时不那么“费劲”。虽然多年前的教改就强调以“以人为本”“教师和学生双主体”等，但这些仍停留在“怎么教”和“怎样学”上，最近全国推行的数学课程改革加强了数学的应用和实践的内容，“数学建模”内容已经在高中课本中独立成章了；“项目化学习”也如火如荼地开展起来；改革方向已经朝着解决“教什么”和“学什么”的问题转变了，相信不久的将来必将在初中课本中有所体现。 新课改理念中突出强调培养学生的“数学核心素养”，数学课程应当将培养学生的“数学核心素养”贯穿于整个课程始终，本书试图从“数学史料”“数学故事”“数学名题”“数学名家”等不同角度，用真实的历史史料和人物故事作为背景，让读者首先了解数学不是凭空而来的，它是成千上万的普通人因为好奇心而不断探索得来的，而这些原本带着好奇心的普通人向前探索的结果不但为大家开发了了不起的认识世界的数学工具，自己同时也变成了了不起的数学家。有了好奇心还不够，我们还为读者再现了这些普通人当时是通过怎样的奇思妙想才发现的数学方法或发明了数学工具，进而为读者架起一座通往建立“数学核心素养”的桥梁，让读者身临其境地感受数学历史上的风风雨雨，体会那些带有好奇心的人在追求数学真理中的酸甜苦乐，重现他们发现数学真理的闪光时刻，从而能更深刻地理解数学本质，并受到他们的感染也加入到探索数学未知世界的行列中来，最起码不会再畏惧数学的枯燥和抽象，因为它们都是有血有肉的存在。 本书分三章，重点是为初中学生科普数学知识的同时，也想为学生搭一座通往数学思维的桥梁，使学生在阅读中不断提高数学素养，本书根据人们认识数学的先后顺序，分别从“算术、几何、代数”中抽取了相对有趣和重要的历史故事、事件和人物，让读者多角度体会数学的本质特征。比如对于数学素养中的“数学抽象”，通过阅读书中的故事，读者能总结出： 数学的抽象不是凭空而来的，因为我们人类是靠经验感知世界并认识世界的，但是随着经验的积累，发现事物发展过程中总是有些规律是不变的，先辈中的一些有好奇心又聪明的人，把实践经验感知的不变规律通过剥离外在表象，用最简洁的符号（如1、 x等）代表研究对象，并把它们之间的关系用尽可能简练的形式表达出来，这就有了数学表达。 再比如书中通过讲述毕达哥拉斯定理的故事让读者体会数学核心素养中的“数学逻辑”，大家熟悉的勾股定理为什么在国际上叫毕达哥拉斯定理？虽然早在公元前1000年商朝的商高发现了勾三、股四、弦五，这一时间比毕达哥拉斯发现此定理早五六百年，非常可惜的是，我们并没有发现商高提供更详细的数学证明，现存发现的我国独立证明勾股定理的证据是在毕达哥拉斯发现并证明了这个定理后大概三四百年，西汉中期的数学家在《九章算术》中给出了勾股定理的完整证明。而西方数学界认为毕达哥拉斯定理是奠定了数学证明的逻辑基础，它在几何学中有着极其重要的基础性地位，这种逻辑证明思想不同于生活实践的经验总结，它舍弃了感性的外衣，完全是理性的逻辑产物，它的优点是尽可能少的依赖当时的外在条件，所以能穿越历史，同时穿透人文形形色色的外衣，比如几千年前数学证明是正确的结论几千年后依然正确，再比如人类虽然说着千差万别的语言，可是学的数学内容基本一致，从某种意义上讲，后者是更接近大自然本质的语言。 其次，也是更重要的，是通过对数学知识的理解和再认识，实现思维方式的提升，为了达到这一目的，我们关键是对数学知识要有透彻理解，要想做到这一点还要从像毕达哥拉斯或是欧几里德这样的数学家的思维方式说起，从他们那个时代的视角再审视知识演变的过程，甚至是经历的各种磨难，我们就能更好地理解数学知识是如何发展的，从而使数学变成活的、有生命的知识体系。 作为数学科普读物，本书主要面对的是中小学生，尤其适合初中这一承上启下年龄阶段的学生阅读，目的就是要为读者建立一座通往理解数学的桥梁。 下面举例来感受一下数学角度思考问题与其他角度思考问题的不同。20世纪90年代，在祖国改革开放的前沿浦东新区陆家嘴建起了一座当时中国最高的摩天大楼——金茂大厦，人们站在它的脚下不禁驻足思量：这地标建筑有多高？ 对于这个问题，我们找来熟悉它的历史的人问一问当然能得到准确答案，但如果你想通过这个问题推测一下你周围人的教育背景也是可以的。 比如学文学的人喜欢用语言对事物进行描述，可能会说诸如“高大宏伟、直穿云霄”等系列词汇对金茂大厦的高度进行描述，这些词汇给了你美的享受和充分的想象空间，不过你却不能据此准确得知它的高度。 学物理背景的人习惯用实验的方法处理问题，要想知道金茂大厦的高度，按照实验的思想是“拿根绳子量一量”： 从楼顶吊下一根绳子直达楼底，记下从楼顶到楼底绳子的长度，这就是金茂大厦的高度。尽管这个做法不算简单，也不一定具有可移植性。比如，要测量一根竖立在地面上又细又长的钢管，人们就无法站到钢管顶部，但是这个做法确实可以非常直观地给出准确答案。 如果是学数学的人遇到这样的问题，其处理方式会有很大不同。他善于对事物进行类比，因此会选取一个标尺，借助阳光，利用标尺与大厦投影的长度及相似原理测出大厦的高度；他擅长将事物进行转化，因此可能通过直角三角形的直角边长与其对角的依赖关系，把大厦高度的测量问题转化为对仰视角的测量问题.他没有爬上楼顶，但能准确得到楼顶到地面的距离；他没有丰富的词汇但却能用数据告诉你大厦的雄伟。他的方法不仅可以用来测量大厦，还可以移作他用。这就是数学的威力——方法简洁、结论可靠、适用广泛。 书中同时回答了数学在生活中的应用和人们以后从事职业的数学要求，比如是否每一个人都要学好数学呢？那要看你对数学的态度和将来要做的工作，不同的工作对数学见识的要求也不同： 如果将来是从事艺术类的，那最好要知道毕达哥拉斯发明的五度相生律；从事设计的，最起码要知道毕达哥拉斯发现的黄金分割吧！ 如果把数学比喻成一座宫城，这些都是相当于你到数学宫城做个参观者，看看甚至摸一摸数学宫城的外表，数学宫城的每个宫殿可不是随便为你敞开的，进城我们需要修桥，进入宫殿还需要每个宫殿的钥匙，而且很多宫殿都是层层嵌套的，宫殿之间的道路也是错综复杂、迷路重重的。对待数学的态度很重要，当你对数学的学习充满渴望和向往时，就会时不时有宫人（灵感）现身在你面前带你绕过迷路，但当你并不觉得这些宫殿有什么了不起，并产生畏难情绪时，就经常会迷失在路上，心烦意乱。当你今后的工作是跟经济学，如会计、金融方向相关，就相当于要在其中几个宫殿拿到钥匙，并且还要此宫的人传你些“法宝”，如果今后向物理和计算机专业发展，那就不光需要传些“法宝”，甚至要他们传授“秘术”了；当然最厉害的要数有志成为数学家的人了，你将被允许终生留在宫殿学习“秘术”，把玩“法宝”，甚至有一天你可能成为某个宫殿的缔造者！ 当“桥”建造好了，还需要读者亲自走过去，人类的天性之一就是拥有好奇心，很多人喜欢悬疑、侦探、科幻小说，有些人则喜欢解决诸如乐高、九连环、魔方等各种智力游戏，这都是好奇心的外在表现，也是对人脑思维的一种训练，学习数学很多时候就是对事物好奇心的主动思考，能够提高我们对事物关系的深层次的、本质的理解。 人们在观察周围人的时候可能会发现两种类型的牛人，一种是思维敏捷的人，另一种是思想深刻的人。无论想成为哪一类，都是可以通过后天训练获得的，训练快速反应的有效办法就是不断地输入，比如多听多看，之后再反复输出，比如多说多练，使关联的事物和知识在大脑中形成神经联结，在身体上形成肌肉记忆，比如英语听说、打游戏、打球等做得好的人都是这种训练的结果，而训练深入思考就需要有意识地练习环环相扣的解套本事，数学就是练习这个本事非常好的素材，它经一系列了不起的人发展了几千年，已经形成了成套的训练材料，所以学数学更有点像晋级打怪，一点一点升级，一个一个突破。 本书的完成，除了书末所列的参考文献外，还参考了其他许多书刊、杂志、网络文章，并选用了许多的资料图片和一些数学家的图像，力求使每一章节都做到内容丰富、图文并茂。本书主要适用于中小学生，特别适用于初中生，当学生在学习数学课之前如果读过书中相应的内容，不但能使读者对所学数学知识的背景有比较准确的把握，而且能对知识的思维过程有更深的体会，从而进一步理解数学、喜欢数学，学习数学就不再是件辛苦的差事，很可能变成一种乐趣和享受。 作者 2021年8月