几何学的力量乔丹艾伦伯格著数学科普读物微积分的力量姊妹篇魔鬼数学作者新作中信出版社_乔丹·艾伦伯格_9787521752847

在这本书中，《魔鬼数学》作者、数学家乔丹·艾伦伯格带领我们展开了一场海阔天空的探索之旅，旅程的终极意义是：通过发现几何学的力量，我们能够更好地思考每一个现实问题，重新认识我们身边的世界。
一根吸管有几个洞？尼姆游戏的必胜玩法是什么？数字货币交易中的公钥和私钥是怎么生成的？我们如何做才能阻止一场流行病肆虐世界？人工智能在学下国际象棋方面得心应手，而在学习朗读句子方面却力不从心，这是为什么？古希腊的黄金分割比能用来预测股票市场的走势吗？如果你的孩子真想学会思考的方法，他们应该在学校学些什么？所有这些问题都跟几何学有关，千真万确。
对大多数人来说，几何学是一门充斥着枯燥刻板习题的课程，高中一毕业，它就和你的牙套、你曾经追过的流行歌曲一起，被扔进了故纸堆。当提起几何学时，如果你首先想到的是如何通过一系列步骤证明关于三角形的某个显而易见的性质，那么这并不是几何学，而只是几何学的很小一部分。打个比方，三角形之于几何学，就好比一个动词之于一部精彩的小说。
这本书揭示了一些重要的科学、政治、经济、哲学、医学、信息技术、生物学等问题背后的几何原理，而这些问题都是我们在工作和生活中无法视而不见的。几何学一词的最初含义是丈量世界，但经过漫长的发展历程，它的含义包罗万象，可以解释世间万物的运行机制。
我们生活在一座蓬勃生长、欣欣向荣的几何城市中。几何学并未超越时空，它就在我们身边，与日常生活中的各种推理交织在一起。打开这本书，你会在手不释卷的同时连连惊叹于几何学的伟大力量。

引言事物在哪里？它们长什么样子？
作为一名数学家，我经常在公共场合谈论数学，这似乎能帮助人们解开某些谜团。他们会告诉我一些事情，我感觉那些都是他们长时间深埋心底的故事。其中一些故事与数学有关：有时它们是悲伤的，例如，一名数学老师无缘无故地践踏了一个孩子的自尊心；有时它们是快乐的，例如，一个孩子受到启发后茅塞顿开，或者一个成年人怎么也找不到回家的路了（事实上，这个故事也有点儿悲伤）。
这些故事常跟几何学有关。在人们对中学时期的记忆中，几何学是那么另类，犹如交响乐中冒出来的异常大声的不和谐音调。有些人憎恶几何学，他们告诉我，从开始学习几何学的那一刻起，数学就超出了他们的理解范围。但也有些人告诉我，几何学是数学中他们唯一能弄懂的部分。几何学就像数学这道大餐中的香菜一样，人们对它要么甘之如饴，要么避之不及。
是什么让几何学变得如此与众不同呢？在某种程度上，它是原始的，根植于我们的身体。自出生之日起，我们就开始思考两个问题：事物在哪里？它们长什么样子？有些人会告诉你，所有与我们的内心生活息息相关的事情，都可以追溯到非洲稀树草原上那群狩猎采集者的需求。我不认同这种说法，但我也无法否认，那些原始人在学会用语言谈论形状、距离和地点之前，对这些概念就有所了解了。南美的神秘主义者（及南美以外地区的模仿者）喝下死藤水（一种宗教致幻剂）后，会在第一时间（好吧，是在不受控制地呕吐后的第一时间）感知到一些纯粹的几何形状，例如，像传统清真寺里反复出现的格栅一样的二维图形，或者像
由六面体巢室排列而成的蜂巢一样的三维图形。即使在我们失去了其他推理思维的情况下，几何学也不会抛弃我们。读者朋友，让我开诚布公地告诉你们：起初我对几何学毫无兴趣。这的确令人难以理解，毕竟我现在是一位数学家，而且我的工作就是跟几何学打交道！
但是，自从我和其他孩子组队参加数学联赛，一切就都变得不一样了。是的，一场数学联赛。我所在中学的参赛队伍名叫地狱天使，我们每次上场比赛都穿着黑色T恤，带着一台手提录音机，播放着休伊·刘易斯和新闻乐队演唱的歌曲Hip to Be Square（《洗心革面》）。我在那场联赛中出名了：只要遇到证明APQ = CDF之类的问题，我就会止步不前。这并不是因为我不会解答这类问题，而是因为我使用的是最笨、最麻烦的方法：给图中的多个点逐一分配坐标值，然后通过大量的代数运算和数值计算，求出三角形的面积和线段的长度。事实上，只要运用有效的几何方法就可以避免这些烦琐的步骤。我得出的答案有时是对的，有时是错的，但每次的解题过程都非常痛苦。
如果世界上有几何天赋这种东西，那我肯定没有。我们可以给婴儿做几何测试：以两幅为一组，连续向婴儿展示一系列图片，其中大多数组别中的两幅图片展示的形状都相同，但大约每隔三组，右边的那幅图片展示的形状就会与左边的那幅图片相反。婴儿会花更多的时间去看那些相反的形状，这表明他们知道有事情发生了，他们追求新奇事物的头脑也会迅速做出反应。婴儿凝视镜像形状的时间越长，他们在学龄前期的数学和空间推理测试中的得分就越高，也能更快、更准确地想象出不同的形状，以及这些形状旋转或粘在一起后的样子。至于我，我几乎完全不具备这种能力。你知道加油站的刷卡机上贴的那个小图片吧？它会告诉你刷信用卡时卡片应该朝着哪个方向。但是，它对我毫无用处，因为我的大脑无法把那幅平面图转化成三维动作。每次刷卡，我都不得不把 4 种可能的朝向尝试一遍磁条向上朝右、磁条向上朝左、磁条向下朝右、磁条向下朝左直到机器开始读卡。
然而，人们通常认为几何学对现实世界的一些运算而言至关重要。凯瑟琳·约翰逊是美国国家航空航天局（NASA）的一位数学家，她因为《隐藏人物》这本书及同名电影的主人公而出名。谈到她早年间在飞行研究部门取得的成功时，凯瑟琳说：那些家伙都有数学硕士学位，但他们彻底忘记了他们学过的几何知识……而我还记得我学过的几何知识。
非凡的魅力
威廉·华兹华斯的自传体长诗《序曲》（The Prelude）讲述了一个有点儿令人难以置信的故事：一个人在遭遇海难后漂流到一座无人岛上，他身上除了一本欧几里得的《几何原本》之外别无他物。大约 2 500 年前，这本书阐述的几何公理和命题使几何学变成了一门正式学科。对一个遭遇海难的家伙来说，他的运气还算不错：尽管他饥肠辘辘、心情沮丧，但他可以用树枝在沙滩上作图，通过逐一验证欧几里得的证明过程，打发独居荒岛的寂寞时光。而这恰恰是步入中年的华兹华斯向往的人生年轻、敏感、富有诗意。诗人写道：这些抽象的概念，对终日与图形为伍、形单影只的心灵而言，是多么富有魅力啊！（饮用死藤水的人也有类似的感受，这种药物会对大脑产生影响，让自认为陷入困境的大脑得到解脱。）
华兹华斯的海难几何学故事的最奇怪之处在于，它基本上是真实的。华兹华斯从约翰·牛顿的回忆录中借用了这个故事，其中有几行诗句更是原样照搬过来的。1745 年，年轻的奴隶贩子约翰·牛顿被困在塞拉利昂附近的普兰廷岛上。他没有遭遇海难，而是被他的老板扣留在那里，过着无所事事、食不果腹的生活。普兰廷岛也不是一座无人岛，除了他以外，那里还住着一些非洲奴隶。他主要的痛苦来源是一名控制食物流通的非洲妇女，用牛顿的话说，这是一个在她的国家拥有重要地位的人。牛顿百思不得其解自己为什么会落到这步田地，他抱怨道：这个女人从一开始就对我抱有莫名其妙的偏见。
几年后，差点儿死在海上的牛顿开始信奉宗教，成了一名圣公会牧师，还创作了基督教赞美诗《奇异恩典》（Amazing Grace，它对人们抑郁时应该读什么书给出了截然不同的建议）。最后，他宣布不再从事奴隶贸易，并成为大英帝国废除奴隶制运动的一员干将。现在，我们回过头讲他在普兰廷岛上的生活。没错，他随身带着一本书艾萨克·巴罗英译版的欧几里得《几何原本》。在那段黑暗的日子里，这本书中的抽象概念给了他莫大的心理安慰。他写道：我常常沉迷其中，几乎忘记了自己的悲伤。
华兹华斯借用了牛顿的沙滩几何学故事，而这并不是他与该学科仅有的亲密接触。与华兹华斯同时代的托马斯·德·昆西在《一个鸦片吸食者的忏悔录》（Confessions of an English Opium-Eater）中写道：华兹华斯是一个彻头彻尾的数学崇拜者，尤其是对高深莫测的几何学。这种崇拜源于抽象世界和激情世界之间的对立。上学期间，华兹华斯的数学成绩很糟糕，但他与年轻的爱尔兰数学家威廉·哈密顿建立了惺惺相惜的友谊。有些人认为，正是因为受到哈密顿的启发，华兹华斯才会在《序曲》中写出描述牛顿（是艾萨克·牛顿而不是约翰·牛顿）的著名诗句：一个灵魂，永远孤独地航行在陌生的思想海洋中。

引　言事物在哪里？它们长什么样子？ / VII
非凡的魅力 / IX
第1章我投欧几里得一票 / 001
僵化死板的教学方式 / 007
毕达哥拉斯定理的证明 / 009
笨蛋的难关 / 015
等腰三角形的定义 / 021
第2章一根吸管上有多少个洞？ / 023
通过画得差的图形进行好的推理 / 028
诺特的裤子 / 033
莫比乌斯带和三体问题 / 036
第3章给不同的事物赋予相同的名称 / 041
拉挤变换 / 044
庞加莱，我拉挤了时空！ / 048
第4 章狮身人面像的碎片 / 053
蚊子问题和《天才少女》 / 057
尝一口就能知道整碗汤的味道 / 059
给《自然》杂志的一封信 / 064
随机游走到巴黎证券交易所 / 068
花粉颗粒似乎具有生命力 / 071
0 号沼泽 vs 1 号沼泽 / 073
马尔可夫链和香农信息论 / 077
第5 章他的棋风就是不可战胜 / 085
阿克巴、杰夫和尼姆树 / 088
热爱树栖生活的人类 / 092
W局面和L 局面 / 098
以此类推 / 106
Nimatron先生的世界 / 110
非《软纽扣》不可吗？ / 116
大获全胜 / 120
我的程序员是上帝 / 123
非洲格拉斯哥开局 / 125
第6 章试错法的神秘力量 / 129
宝石手链和费马大定理 / 132
费马小定理的逆命题 / 138
两名醉汉下围棋 / 139
无限维度的策略空间 / 146
第7 章机器学习如同登山 / 151
贪婪是相当好的东西 / 154
我是对还是错？ / 158
深度学习和神经网络 / 162
车钥匙无处不在 / 169
第8 章距离、家谱图和单词地图 / 171
所有英语单词的地图 / 175
第9 章三年来的所有星期天 / 183
第10 章今天发生的事明天还会发生 / 191
它们不是上帝最重要的思想 / 195
神奇数字R0 / 198
明年将会有77 万亿人感染天花 / 203
康威的数学游戏 / 205
辛普森悖论 / 207
哪枚金币是伪币？ / 208
流行病的数学模型 / 211
斐波那契数列和梵语诗歌 / 216
牛顿第二定律和差分方程 / 219
每个点都是临界点 / 221
第11 章可怕的增长定律 / 223
派对把戏 / 230
但其中有些是有用的 / 235
曲线拟合师和逆向工程师 / 239
第12 章香烟烟雾潜伏在烟叶中 / 243
南达科他州和北达科他州（上） / 245
黄金比例和波浪理论 / 255
南达科他州和北达科他州（下） / 260
揭秘谷歌的运行机制 / 265
和弦的音符和量子物理学 / 269
第13 章空间的皱折 / 275
世界地图、比萨定理和北极熊 / 278
你的埃尔德什数是多少？ / 284
图像和书虫 / 288
远距离读心术和熵 / 296
世界上唯一的名字 / 303
小世界网络 / 307
第14 章用数学思维破解选举黑魔法 / 311
约瑟夫的攻击性地图 / 315
衰败选区和格里蝾螈行为 / 319
哪个政党是克雷奥拉州的当权派？ / 327
从艺术到科学的演变 / 331
别再踢唐老鸭了！ / 334
把晶砂人划分出去！ / 340
效率差距和浪费的选票 / 342
会撒谎的统计数字 / 348
错误的问题比错误的答案更糟糕 / 350
醉醺醺的选区地图 / 353
图像、树状图和洞的凯旋 / 360
一场关于三明治的口头辩论 / 365
从阴暗的密室到明亮的教室 / 372
结语膨胀的房子和翩翩起舞的窗户 / 375
机器捕捉不到事实的灵魂 / 377
每个人都离不开几何学 / 383
致谢 / 387

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