1984年，Clunie和Sheil-Small得到了若干关于单叶调和映射与共形映射中经典问题的类比结果，自此以后，平面调和映射一直倍受关注，并发展成为一个热门的研究课题。调和映射很早就被用来表示极小曲面，而极小曲面是微分几何中一类非常重要的曲面。它的研究涉及到几何学、代数学及拓扑学等诸多的学科领域，极小曲面在理论研究和工程技术等方面也有广泛应用和重要意义。本书主要研究了复平面上的调和映射族的卷积的单叶性、调和映射的线性组合、通过调和映射来构造极小曲面、调和线性微分算子的完全凸和全星形半径、对数调和映射的基本性质等。

平面调和映射于世纪年代提出并用来研究极小曲面等相关问题，自此之后，人们很快发现平面调和映射在工程、电磁学、医学等其他许多领域中都有广泛地应用，成为解决许多工程问题和物理问题的重要工具，比如水流通过地下含水层、稳态温度分布、静电场强度，盐分通过通道的扩散等.极小曲面是指平均曲率为零的曲面，即满足某些约束条件的面积小的曲面.利用极小曲面的Weierstrass表示把调和映射与极小曲面联系起来，因此可以把调和映射的一些结论应用到极小曲面的理论上，从而得到新的结论.极小曲面的研究涉及几何学、代数学及拓扑学等诸多方面.极小曲面因其在理论研究、工程应用等领域的广泛应用和重大价值，自提出之日起便一直受到许多物理学家和数学家们的关注。


来，单叶复值调和函数（又称单叶调和函数）的研究再度兴起，我们将探索这些函数的几何性质，这些性质构成了一个新研究领域的基础，本课题我们将介绍平面调和映射和微分几何的景和基础理论，微分几何是一个将微积分的思想和技术应用于几何形状的数学领域.然后将介绍极小曲面.我们利用复分析的思想，给出Weierstrass表示来描述极小曲面，并将曲面的几何量与这种描述联系起来.这使我们能够开始研究一些有趣的性质和新的研究问题，这些问题可以通过Mathematica软件来实现可视化.目前国内尚未出版有关平面调和映射的学术专著，本书结合作者本人的科研方向和研究成果，具有一定的原创性和性，反映了平面调和映射与极小曲面的新研展，并且系统化整结、结构严谨.本书利用Mathematica软件画出大量的图示使原本比较抽象的数学概念、函数的性质变得直观易懂，并且把Mathematica软件应用到相关的计算和分析当中去，读者在透彻理解理论的同时，还能充分领略数学之美.


本书一共分为7章，本书第1章介绍平面调和映射理论的基本概念以及主要用到的工具等；第2章介绍调和映射的线性组合，它是构造具有给定性质的新函数的常用方法之一，得到了满足某些特定条件的调和函数族的线性组合沿实轴方向凸的一些充分条件，是M.Dorff、李浏兰等人的结果推广；第3章介绍调和映射的卷积，调和映射的卷积也是构造单叶调和映射的另一种方法，一些新的右半平面调和函数族与其他类的调和函数族的卷积，利用Cohn's Rule和Gauss-Lucas定理证明调和映射卷积的单叶性并且沿某个方向凸


的一些充分条件，解决了M.Dorff、M.Nowak和M.Woloszkiewicz三人提出的关于右半平面调和卷积的猜想；第4章主要研究满足某些系数条件的调和调和映射线性微分算子的凸、星象以及单叶半径等，其中有些结论是对Kalaj等人所做工作的推广和；第5章介绍极小曲面的理论背景、极小曲面的Weierstrass-Enneper表示以及常见的通过等温参数表示的极小曲面的例子；第6章介绍极小曲面与调和映射的联系，并利用剪切原理构建一系列新的调和映射，当伸缩商为一解析函数的平方时提升至极小曲面，介绍利用Heinz's不等式对极小曲面的曲率的行估计，利用调和映射的Schwarzian导数得到调和映射的全局单叶性准则；第7章介绍对数调和映射的相关理论及作者近的一些研展，构造了对数调和Koebe函数、右半平面对数调和调和映射、双裂缝对数调和映射，并证明这些映射像域的性，对单叶星象对数调和函数的系行了估计，提出了类似于经典的解析函数的对数调和映射的Bicberbach猜想和对数调和映射的覆盖定理，本书的第1章由王智刚撰写，第2章由李迎春撰写，第3、4、5、6、7章由刘志宏撰写.本书正文部分是使用LATgX[ElegantBook v3.08 中文版](https://github.com/ElegantLaTeX/ElegantBook)模板制作，


感谢[EthanDeng](https://github.com/EthanDeng)提供的模板.


1984年，Clunie 和Sheil-Small得到了若干关于单叶调和映射与共形映射中经典问题的类比结果，自此以后，平面调和映射一直倍受关注，并发展成为一个热门的研究课题.调和映射很早就被用来表示极小曲面，而极小曲面是微分几何中一类重要的曲面，它的研究涉及到几何学、代数学及拓扑学等诸多的学科领域，极小曲面在理论研究和工程技术等方面也有广泛应用和重要意义，为了写好本著作，我们收集了大量的资料，主要的经典著括Peter Duren、Michael Dorff、Christian Pommerenke、Walter Hengartner 的著作，主要论括Zayid Abdulhadi、 Martin Chuaqui、 Saminathan Ponnusamy、Anti Rasila、李浏兰及很多数学家的工作.我们也将自己团队近期在调和映射的线性组合、调和映射的卷积、对数调和映射等成果融汇其中，在本书的编写过程中，我们得到了很多师长、朋友和学生们的帮助，作者在此表示衷心地感谢！感谢蒋月评教授对论文的指导和对出国交流的大力支持，感谢王仙桃教授在平面调和映射映射研讨班的悉心指导和与他的团队的交流探讨，感谢 SaminathanPonnusamy 教授在访学期间生活上的照顾与学业上的指导，感谢 Anti Rasila教授对论文的修改和建议，感谢他们为本书的顺利出版提供了大力支持，感谢国家自然科学项目：平面调和映射与极小曲面中的若干问题（11961013）提供的部分资金支持.由于水平有限，错误之处敬请读者指正.


刘志宏王智刚李迎春


22年4月

第1章 单叶调和映射


1.1调和映射的定义


1.2剪切原理


1.3右半平面调和映射的凸半径


第2章调和映射的线性组合


2.1条件A


2.2调和映射的线性组合


2.3调和映射的复值线性组合


第3章调和映射的卷积


3.1定义


3.2右半平面调和映射的卷积


3.3推广形式


3.4公开问题


3.5右半平面与垂直带状调和映射的卷积


3.6有关猜想及其证明


第4章调和徽分算子的单叶半径


4.1预备知识


4.2调和微分算子的星象和凸半径


4.3调和线性微分算子的单叶半径


第5章极小曲面


5.1曲面理论背景


5.2等温参数及共轭极小曲面


5.3 极小曲面的Weierstrass-Enneper表示


5.4例子


第6章 极小曲面与调和映射


6.1高斯曲率


6.2极小曲面与调和映射


6.3剪切构建极小曲面


6.4 Heinz's不等式与曲率的界曲率界的估计


6.5Schwarzian导数


6.6平面调和映射与极小曲面


第7章 对数调和映射


7.1引言和预备定理


7.2构造单叶对数调和映射


7.3星象对数调和映射的系数估计


7.4增长和偏差定理


7.5a阶星象对数调和映射的表示定理和偏差定理


7.6公开问题


参考文献