Calabi-Yau三角范畴中扭对的分类及其应用_常会敏_9787568099035

本书主要涉及Calabi-Yau三角范畴中扭对分类的发展研究，涵盖了有限的2-CY三角范畴、丛范畴、高阶丛范畴和无穷丛范畴中的(余)扭对的分类及其应用，有限的2-CY三角范畴是只含有限多个不可分解对象并且带有极大刚性对象的2-CY三角范。丛范畴和高阶丛范畴包括A型和D型，无穷丛范畴包括A型、A 型、包含n个极限点的A型和D型的丛范畴。最后，最为应用，介绍了利用丛倾斜子范畴计算Grothendieck群的方法。本书可供从事代数表示论领域的科研人员了解三角范畴、AR-箭图、扭理论、特殊三角范畴（包括有限2-Calabi-Yau三角范畴、高阶丛范畴和无穷丛范畴）的几何模型等，了解扭对分类的方法及其应用。

CalabiYau三角范畴中扭对的分类及其应用前言前言扭理论作为t结构与丛倾斜子范畴的推广，是代数表示论中一个重要的研究课题，也是代数和几何领域一类重要的研究对象。它在帮助我们理解三角范畴的代数结构和几何结构方面起到重要的作用，因而对三角范畴中的扭对进行分类具有重要的意义。本书围绕有限2CalabiYau三角范畴、高阶丛范畴和无穷丛范畴这三类特殊的三角范畴展开阐述，利用几何模型，用组合理论的方法研究三角范畴中的扭对分类及其应用。本书可供从事代数表示论领域的科研人员了解三角范畴、AR箭图、扭理论、特殊三角范畴(包括有限2CalabiYau三角范畴、高阶丛范畴和无穷丛范畴)的几何模型等，以及扭对分类的方法及其应用。本书共分为9章，第1章为扭理论简介，主要介绍扭理论的研究背景和研究扭理论的意义，并介绍了有限2CalabiYau三角范畴、高阶丛范畴和无穷丛范畴的研究现状和趋势。第2章给出本书需要用到的一些基本的定义和结果。我们主要回顾一些关于加法范畴、阿贝尔范畴、三角范畴的预备知识，给出扭理论、丛结构、有限2CalabiYau三角范畴、丛范畴、高阶丛范畴和无穷丛范畴的相关概念和主要结果，同时介绍了本书一些常用的记号，为后面章节的学习做铺垫。第3章介绍有限2CalabiYau三角范畴中的扭理论及其应用，主要研究An,t和Dn,t(带极大刚性对象而非丛倾斜对象的有限2CalabiYau三角范畴)中扭对的几何刻画，计算出扭对的个数，并且将所有扭对的heart进行分类。另外，我们研究了An,t和Dn,t中不可分解刚性对象的性质，分别定义了An,t和Dn,t上丛复形(cluster complex)的概念，证明了存在从An,t和Dn,t的丛复形到Bn型根系的丛复形的同构。在这个同构下，An,t和Dn,t中极大刚性对象对应到Bn型根系的极大相容子集。其中包含我们已经发表的文章中的结论。第4章重点介绍高阶丛范畴中的扭理论及其应用，包含A型高阶丛范畴和D型高阶丛范畴。对于A型m丛范畴，我们利用其几何模型，将余扭对完全分类。当m=1时，该结论推广了HolmJrgensenRubey关于经典A型丛范畴上扭对的分类。同样的，对于D型m丛范畴，我们利用其几何模型，将m为奇数时的D型m丛范畴中的扭对完全分类。当m为偶数时，仍然是一个开放的问题，目前还没有相应扭对分类的结果。第5章介绍高阶丛范畴中扭对分类的应用，在第4章扭对分类完成的基础上，将A型和D型高阶丛范畴中的高阶刚性子范畴和高阶丛倾斜子范畴分类(注意对于D型，仍然只能将m为奇数时的D型m丛范畴中的高阶刚性子范畴和高阶丛倾斜子范畴分类)。回到经典丛范畴中，该结论包含了m=1时经典丛范畴中扭对分类的结果。第6章重点介绍A型丛范畴。我们研究A型丛范畴的几何模型，在其几何模型上定义A型的Ptolemy图，利用该几何模型，给出A型丛范畴上余扭对的完全分类。利用该结论，得到了A型丛范畴中函子有限子范畴、丛倾斜子范畴和t结构以及t结构heart的分类。第7章给出离散型D型无穷丛范畴的几何模型，以及包含n个极限点的D型无穷丛范畴和完备化的D型无穷丛范畴的实现，考虑了D型无穷丛范畴中弱丛倾斜子范畴的几何刻画，为研究离散型D型无穷丛范畴中扭对的分类及其应用提供可行性分析。最后，给出了一个弱丛结构的猜想，留给感兴趣的读者。第8章总结了三角范畴中Grothendieck群常见的计算方法，与扭对分类之间的关系，利用丛倾斜子范畴计算Grothendieck群的技巧等。给出有限丛范畴，包括A型、D型和E型的Grothendieck群，高阶丛范畴包括A型和D型的Grothendieck群，以及A型无穷丛范畴Grothendieck群的计算。第9章总结了前面的主要工作，对于目前的研究趋势进行了展望。对于三角范畴中扭对分类的研究，正在向无穷方向发展：一方面是将无穷Dynkin型丛范畴得以实现，并研究其相关代数和几何性质；另一方面是将无穷丛范畴一般化，研究高阶无穷丛范畴的代数性质和几何结构。未来在这些无穷丛范畴的研究中，扭理论可能发挥着重要的作用。本书是作者在近几年科研工作和博士研究的基础上编写而成的，感谢国家开放大学的支持和博士生导师朱彬教授的指导和帮助。由于作者水平有限，时间紧张，书中难免出现疏漏，希望读者提出宝贵的意见，甚为感谢。著者2023年5月

第1章扭理论简介(1)

1.1研究背景和研究意义(1)

1.2研究内容(3)

1.2.1有限2CalabiYau三角范畴(3)

1.2.2高阶丛范畴(4)

1.2.3无穷丛范畴(5)

第2章预备知识(7)

2.1三角范畴(7)

2.1.1加法范畴和阿贝尔范畴(7)

2.1.2三角范畴的定义(9)

2.1.3AR箭图(10)

2.2扭理论(12)

2.3丛结构(15)

2.4丛范畴(17)

2.4.1An型丛范畴(18)

2.4.2Dn型丛范畴(19)

2.4.3A型丛范畴(22)

2.4.4A型丛范畴(24)

2.4.5含n个极限点的A型丛范畴(28)

2.5高阶丛范畴(31)

2.5.1A型高阶丛范畴(32)

2.5.2D型高阶丛范畴(32)

2.5.3E型高阶丛范畴(32)

第3章有限2CalabiYau三角范畴中的扭理论(34)

3.1An,t中扭对的分类(35)

3.1.1An,t中扭对的几何描述(35)

3.1.2t>1时An,t中的扭对(38)

3.1.3An,1中的扭对(42)

3.2Dn,t中扭对的分类(45)

3.2.1Dn,t中扭对的几何刻画(45)

3.2.2t>1时Dn,t中的扭对(46)

3.2.3Dn,1中的扭对(48)

3.2.4Dn,t中扭对的个数(50)

3.3有限2CY三角范畴中扭对分类的应用(52)

3.3.1有限2CY三角范畴中扭对的heart(52)

3.3.2有限2CY三角范畴中的丛结构(54)

第4章高阶丛范畴中的扭理论(59)

4.1A型高阶丛范畴(59)

4.1.1An-1型的m丛范畴的几何模型(59)

4.1.2An-1型的m丛范畴中的余扭对(62)

4.2D型高阶丛范畴(67)

4.2.1Dn型的m丛范畴的几何模型(68)

4.2.2Dn型的m丛范畴中的扭对(72)

第5章高阶丛范畴中扭对分类的应用(83)

5.1m刚性子范畴和m丛倾斜子范畴(A型)(83)

5.2余扭对和经典丛范畴中余扭对的关系(A型)(84)

5.3m刚性子范畴和m丛倾斜子范畴(D型)(85)

5.4扭对和经典丛范畴中扭对的关系(D型)(86)

5.5例子(A型)(86)

第6章A型丛范畴中的扭理论(89)

6.1A型无穷丛范畴(89)

6.1.1Ptolemy图的定义(89)

6.1.2Ptolemy图的例子(89)

6.2余扭对的分类(91)

6.2.1主定理(91)

6.2.2与主定理相关的结论(92)

6.2.3主定理的证明(99)

6.3余扭对分类的应用(101)

6.3.1函子有限子范畴和丛倾斜子范畴的分类(101)

6.3.2t结构的分类(102)

6.3.3t结构heart的分类(104)

第7章D型无穷丛范畴(105)

7.1带标记点的gon(105)

7.2D型无穷丛范畴的实现(109)

第8章Grothendieck群(111)

8.1有限丛范畴的Grothendieck群(111)

8.2高阶丛范畴的Grothendieck群(112)

8.2.1A型高阶丛范畴的Grothendieck群(114)

8.2.2D型高阶丛范畴的Grothendieck群(118)

8.3无穷丛范畴的Grothendieck群(123)

第9章总结与展望(128)

9.1总结(128)

9.1.1构造阿贝尔商范畴(129)

9.1.2分类刚性子范畴和丛倾斜子范畴(129)

9.1.3分类t结构(130)

9.2展望(131)

9.2.1无穷丛范畴(131)

9.2.2完备化的无穷丛范畴(132)

9.2.3高阶无穷丛范畴(132)

参考文献(134)

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