本书共7章，分别介绍了矩阵理论基础、线性空间与线性变换、范数理论、矩阵的Jordan标准型、矩阵分析、矩阵分解、矩阵的广义逆。各章后面均配有一定数量的习题。本书内容由浅入深，选材上力求做到科学严谨、简洁明晰，以使读者在较短时间内能够掌握矩阵理论的相关基本内容。阅读本书最好有理工科“线性代数”课程的基础。本书可作为普通高等院校理工科硕士研究生和高年级本科生的教材，也可作为有关专业的教师和工程技术人员的参考书。

张子叶，女，1979年出生，教授，博士。2005年6月毕业于兰州大学基础数学专业，获得硕士学位，多年来一直承担研究生《矩阵理论》、本科生《高等数学》等相关课程的教学工作，教学效果优异，深受学生的喜爱。美国《数学评论》评论员，为中国自动化学会会员，为中国自动化学会自适应动态规划与强化学习专业委员会委员。

目录

第1章 矩阵理论基础 1
1.1 矩阵的初等变换 1
1.1.1 矩阵的初等变换的概念 1
1.1.2 初等矩阵 2
1.1.3 利用初等变换求矩阵逆的方法 3
1.2 分块矩阵 5
1.2.1 分块矩阵的概念 5
1.2.2 分块矩阵的运算 6
1.2.3 分块对角矩阵 7
1.3 矩阵的特殊乘积 9
1.3.1 Kronecker积 9
1.3.2 Hadamard积 11
1.4 矩阵的特征值与特征向量 13
1.5 矩阵可对角化的条件 16
1.5.1 相似对角化 16
1.5.2 酉相似对角化 20
习题1 23
第2章 线性空间与线性变换 26
2.1 线性空间 26
2.1.1 线性空间的概念与性质 26
2.1.2 向量组的线性相关性 28
2.1.3 基、维数与坐标 29
2.1.4 基变换与坐标变换 31
2.2 线性子空间 34
2.2.1 线性子空间的概念 34
2.2.2 子空间的交与和 37
2.2.3 子空间的直和 39
2.3 线性变换 41
2.3.1 线性变换的概念 41
2.3.2 线性变换的运算 42
2.3.3 线性变换的矩阵表示 44
2.4 线性变换的值域、核及不变子空间 49
2.4.1 线性变换的值域与核 49
2.4.2 线性变换的不变子空间 50
2.5 线性空间的同构 51
2.6 内积空间 52
2.6.1 内积空间的基本概念 53
2.6.2 标准正交基 55
2.6.3 正交子空间 58
2.6.4 正交变换与酉变换 60
2.6.5 向量到子空间的距离与最小二乘法 61
习题2 63
第3章 范数理论 66
3.1 向量范数 66
3.1.1 向量范数的概念与性质 66
3.1.2 向量范数的连续性与等价性 69
3.2 矩阵范数 70
3.2.1 矩阵范数的概念与性质 70
3.2.2 矩阵的算子范数 73
习题3 76
第4章 矩阵的Jordan标准型 77
4.1 线性变换的特征值与特征向量 77
4.1.1 特征值与特征向量 77
4.1.2 特征子空间 79
4.2 矩阵 80
4.2.1 矩阵的概念 80
4.2.2 矩阵的初等变换与等价 81
4.2.3 矩阵的Smith标准型 83
4.3 不变因子与初等因子 85
4.3.1 矩阵的行列式因子 85
4.3.2 矩阵的不变因子与初等因子 87
4.4 数字矩阵的Jordan标准型 89
4.4.1 矩阵相似的条件 90
4.4.2 Jordan标准型及其计算 91
4.4.3 变换矩阵 95
4.5 凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式 97
4.5.1 凯莱-哈密顿定理 97
4.5.2 矩阵的最小多项式 99
习题4 105
第5章 矩阵分析 108
5.1 矩阵序列与矩阵级数 108
5.1.1 向量序列与矩阵序列 108
5.1.2 矩阵级数 112
5.1.3 矩阵幂级数 114
5.2 矩阵函数 117
5.2.1 矩阵函数的定义 117
5.2.2 矩阵函数的计算 120
5.3 函数矩阵 125
5.3.1 函数矩阵的微分与积分 125
5.3.2 数量函数对矩阵变量的导数 127
5.3.3 函数矩阵对矩阵变量的导数 129
5.4 矩阵分析的应用 132
5.4.1 一阶常系数线性微分方程组 132
5.4.2 n阶常系数线性微分方程 135
习题5 138
第6章 矩阵分解 141
6.1 矩阵的三角分解 141
6.1.1 Gauss消元法的矩阵表述 141
6.1.2 矩阵的三角分解 143
6.1.3 分块矩阵的三角分解 146
6.2 矩阵的满秩分解 147
6.2.1 矩阵的满秩分解 147
6.2.2 用矩阵行最简形求满秩分解 149
6.2.3 行满秩矩阵或列满秩矩阵的性质 150
6.2.4 长方矩阵的左、右逆 151
6.3 矩阵的QR分解 152
6.3.1 用Schmidt正交代求矩阵的QR分解 152
6.3.2* 用初等旋转矩阵求矩阵的QR分解 155
6.3.3* 用初等反射矩阵求矩阵的QR分解 158
6.4 矩阵的奇异值分解 161
习题6 166
第7章 矩阵的广义逆 168
7.1 广义逆矩阵的基本概念 168
7.2 减号逆 169
7.2.1 减号逆 的定义及性质 169
7.2.2 的计算 170
7.3 加号逆 173
7.3.1 加号逆 的定义及性质 173
7.3.2 的计算 175
7.4 两种广义逆在解线性方程组中的应用 179
7.4.1 线性方程组的求解问题 179
7.4.2 相容线性方程组的通解与减号逆 179
7.4.3 矛盾方程组的求解问题与加号逆 181
习题7 183
参考文献 185