本书主要研究带有干扰和时滞的一维热方程的性能输出跟踪与反馈镇定问题。主要研究内容由以下两类问题组成:第一类重点讨论带有输入时滞和外部干扰的热方程的输出跟踪问题,其中干扰由有限维外系统生成。此类问题运用backstepping变换和内模原理等方法解决。第二类重点讨论带有一般干扰的热方程常微分方程(ODEs,OrdinaryDiferentialEquations)级联系统的反馈镇定问题。此类问题运用执行动态补偿和自抗扰控制等方法解决。全书主要分为7个章节。
第1章是绪论,主要介绍研究背景、国内外研究现状及主要研究结果。
第2章讨论带有外部干扰和输入时滞的一维热方程的输出跟踪问题,其中干扰由有限维外系统生成。本章讨论的问题中存在非同位情形:输出和输入非同位;输出和部分干扰非同位;输入和部分干扰非同位。由于输入时滞由一阶传输方程生成,那么带有输入时滞的热方程的输出跟踪问题可以转化为一阶传输方程热方程级联系统的输出跟踪问题。这一变化使得偏微分方程(PDEs,PartialDiferentialEquations)等数学工具在处理时滞问题时有用武之地。本章利用内模原理以及backstepping变换等方法解决PDE-PDE级联系统的输出跟踪问题。在使用backstepping变换时,运用算子形式完成控制器的设计,这是本章的一大亮点。由于干扰由有限维外系统生成,因此可以利用内模原理进行估计/消除。对于非同位带来的问题,可以通过两次轨迹规划解决。
第3章讨论带有输入时滞和外部干扰的边界不稳定热方程的输出跟踪问题,其中干扰由外系统生成。第2章研究的热系统中,边界条件是热流边界条件,也就是Neumann边界条件。当系统不含干扰时,该系统中热量在表面各点的流速为零,是相对理想化的物理模型。而第3章研究具有对流换热边界条件的热系统,该系统是工程控制中更为普遍存在的系统。系统中对流换热系数的数值与换热过程中系统的物理性质有很大的关系,边界对流换热项在特殊情况下会造成系统不稳定。本章首先将输入时滞问题转化为PDE-PDE级联系统的输出跟踪问题,然后通过构造合适的辅助系统将非同位问题转变成同位问题,同时输出跟踪问题转变成镇定问题,最后利用backstepping变换设计控制器镇定变换以后的系统,利用相差可逆变换的系统之间的等价性实现系统的输出跟踪。在处理干扰造成的问题时,由于干扰的动态结构已知,仍然利用内模原理进行估计/消除。
第4章研究带有输入时滞和外部干扰的反应扩散方程的输出跟踪问题,其中干扰由外系统生成。反应扩散方程在近代科学中广泛描述物理、化学和生物等领域的各种现象。本章将输入时滞动态表示为一阶双曲方程,那么所研究的控制系统就变成双曲方程拋物方程的级联系统。运用轨迹规划的方法解决非同位结构造成的问题。运用内模原理成功估计出系统的状态和外部干扰,先根据估计/消除策略将干扰抵消,然后设计全状态反馈实现系统的输出跟踪,最后设计基于误差的观测器。结论表明,所得闭环系统指数稳定。
第5章研究带有干扰的ODE-热方程级联系统的输出反馈镇定问题,其中干扰和控制都在系统的右端。与第2、第3、第4章不同,本章研究的问题中,干扰是一般的干扰,而不是由外系统生成的,这样干扰的信息几乎是完全未知的,内模原理不再适用。因此采取自抗扰控制方法针对原系统设计干扰估计器来估计干扰,然后通过未知型输入观测器估计系统状态。本章未知输入观测器的设计没有使用高增益,并且简化现有结果的设计步骤。另外,在设计控制器时,引入执行动态补偿方法,这是本章的一大亮点。执行动态补偿方法涉及的核函数是常微分方程,这种常微分方程总是解析可解的,使得控制器的设计更为简便。
第6章研究通过Dirichlet边界连接的ODE-反应扩散方程级联系统的镇定问题。ODE-反应扩散方程级联系统的镇定问题可以看作是带有反应扩散执行动态的常微分方程的补偿问题。为了更深刻地理解并运用执行动态补偿方法,本章利用执行动态补偿方法设计控制器指数镇定级联系统。这种方法与传统的backstepping变换最大的不同点在于控制器设计过程不依赖目标系统的选择且得到的核函数是常微分方程,这个常微分方程总是解析可解的。在证明闭环系统指数稳定性时,该方法摆脱Lyapunov函数的构造,使得证明过程更加简单。
第7章总结全书,并在本书所讨论内容的基础上对后续研究进行说明。
本书是作者多年研究工作及成果的汇总,同时包含对未来研究方向的展望。本书有幸获得山西省基础研究计划项目的资助,山西大学冯红银萍教授团队为本书的正式出版给予了很大的支持,谨表示衷心感谢。
王丽
2024年6月
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