《数学分析讲义》（上、下册）是作者在中国科学院大学授课期间编写的，讲义内容主要参考了华东师范大学数学系编写的《数学分析》，以及国内外一些优秀的教材，并在此基础上作了一些补充。讲义注重分析的几何直观性、理论的严谨和系统性、应用的深入性，以及与后续学科的衔接性。

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国家自然科学基金委重点项目, 编号11431014，负责人 国家自然科学基金委, 重大项目的子课题，负责人

目录
前言
第1章 实数与函数 1
1.1 集合 1
1.2 映射 3
1.2.1 映射概念 3
1.2.2 映射分类 3
1.2.3 集合的势 4
1.3 实数 4
1.3.1 实数的产生 4
1.3.2 无理数逼近 5
1.3.3 公理化定义 7
1.3.4 基本实数子集 8
1.3.5 区间和邻域 14
1.3.6 确界原理 15
1.4 函数 18
1.4.1 函数概念 18
1.4.2 四则运算 19
1.4.3 反函数 19
1.4.4 复合函数 20
1.5 函数的简单分类 21
1.5.1 初等函数 21
1.5.2 其他函数 23
1.6 函数的某些特征 25
1.6.1 单调性 25
1.6.2 有界性 26
1.6.3 奇偶性 26
1.6.4 周期性 27
第2章 数列极限 28
2.1 数列极限概念及性质 28
2.1.1 数列极限概念 28
2.1.2 数列极限性质 31
2.1.3 两个判别方法 34
2.1.4 数列上（下）极限 41
2.2 实数域的基本性质 50
2.2.1 闭区间套定理 50
2.2.2 紧致性定理 51
2.2.3 柯西收敛准则 52
2.2.4 有限覆盖定理 53
2.2.5 基本性质等价 54
2.3 数项级数 58
2.3.1 数项级数概念和性质 58
2.3.2 正项级数收敛判别法 62
2.3.3 一般级数收敛判别法 72
2.3.4 绝对和条件收敛级数 79
第3章 函数极限 85
3.1 函数极限概念.85
3.2 函数极限性质.93
3.3 两个判别定理.95
3.4 函数上（下）极限 100
3.5 无穷小（大）量 103
3.5.1 无穷小（大）量概念 103
3.5.2 无穷小量阶的比较 103
3.5.3 无穷小量计算极限 104
第4章 连续函数 108
4.1 连续函数的概念 108
4.1.1 连续函数的定义 108
4.1.2 间断点及其分类 110
4.2 连续函数的性质 113
4.2.1 连续函数的基本性质 113
4.2.2 闭区间上连续函数性质 115
4.2.3 有界区间上一致连续性 121
第5章 一元函数微分学 127
5.1 导数的概念 127
5.1.1 导数及单侧导数定义 127
5.1.2 基本初等函数的导数 130
5.2 导数的运算 133
5.2.1 导数四则运算 133
5.2.2 复合函数求导 134
5.2.3 隐函数求导法 137
5.2.4 反函数的导数 137
5.3 导数的应用 139
5.3.1 确定曲线的切线 139
5.3.2 应用于实际问题 143
5.4 高阶导数 149
5.4.1 高阶导数及运算 149
5.4.2 求高阶导数技巧 151
5.5 微分.155
5.5.1 微分概念和运算 155
5.5.2 应用于近似计算 158
5.5.3 高阶微分 159
第6章 微分中值定理及泰勒公式 162
6.1 微分中值定理 162
6.2 洛必达法则 173
6.3 泰勒公式 181
6.3.1 佩亚诺型 182
6.3.2 拉格朗日型 187
6.3.3 典型应用 192
第7章 函数性质分析的导数方法 197
7.1 函数的局部极值 197
7.2 函数的全局最值 201
7.2.1 基本求法 201
7.2.2 实际应用 202
7.2.3 建立不等式 206
7.3 函数的凸性 210
7.3.1 凸函数的概念 210
7.3.2 凸函数的性质 215
7.4 函数的近似图像 222
7.4.1 函数的渐近线 222
7.4.2 近似图像制作 224
7.5 方程解的图像 229
7.5.1 简单自治微分方程解图像 229
7.5.2 源于实际的自治微分方程 232
7.6 方程的近似解——牛顿法简介 237
第8章 微分逆运算 241
8.1 不定积分概念和性质 241
8.1.1 原函数 241
8.1.2 不定积分 242
8.2 不定积分的三种求法 245
8.2.1 凑微分法 245
8.2.2 变量替换法 247
8.2.3 分部积分法 251
8.3 特殊函数的不定积分 255
8.3.1 有理分式 255
8.3.2 三角有理式 262
8.3.3 简单无理式 263
8.4 求解简单的微分方程 266
8.4.1 可变量分离方程 268
8.4.2 一阶常微分方程 270
8.4.3 热方程 271
第9章 一元函数积分学 274
9.1 定积分的概念 274
9.2 定积分存在的充分必要条件 277
9.2.1 达布上（下）和 277
9.2.2 可积的充分必要条件 279
9.2.3 勒贝格定理 283
9.2.4 可积函数类 287
9.3 定积分的基本性质 289
9.4 牛顿–莱布尼茨公式 299
9.5 换元法和分部积分法309
9.6 积分中值定理及泰勒公式 317
9.6.1 定积分的中值定理 317
9.6.2 积分余项泰勒公式 325
第10章 典型问题的定积分计算 328
10.1 定积分在几何中的应用 328
10.1.1 平面图形的面积 328
10.1.2 由截面面积求体积 335
10.1.3 曲线的弧长和曲率 338
10.1.4 旋转立体的侧面积 354
10.2 定积分在物理中的应用 356
10.2.1 质心计算 356
10.2.2 形心计算 358
10.2.3 压力计算 360
10.2.4 引力计算 361
10.2.5 做功计算 363
10.3 定积分的近似计算 365
10.3.1 一阶误差近似——矩形法 365
10.3.2 二阶误差近似——梯形法 366
10.3.3 三阶误差近似——辛普森法 367
10.3.4 高阶误差近似——高斯-勒让德积分公式 368
第11章 反常积分.370
11.1 反常积分概念和基本计算 371
11.1.1 无界区间上的积分 371
11.1.2 无界函数的积分（瑕积分） 372
11.1.3 反常积分的收敛准则 374
11.1.4 反常积分的简单计算 375
11.2 非负函数反常积分判别法 380
11.2.1 无界区间反常积分的比较判别法 380
11.2.2 瑕积分的比较判别法 382
11.3 一般函数反常积分判别法 389
11.3.1 无界区间反常积分判别法 389
11.3.2 瑕积分判别法 392
11.4 反常积分与数项级数收敛 393
参考文献 398