本书全面、系统地介绍了概率论与数理统计课程的基本内容、基 本思想和基本原理. 全书始终坚持“以应用为目的且不削弱理论学习” 的宗旨,前 5 章介绍概率论的基本内容,为学习数理统计准备必要的理 论知识;后 4 章介绍数理统计的基本理论与方法,侧重介绍了抽样分布、 参数估计、假设检验和回归分析. 书中配有基础练习题、总习题以及自 测题供学生练习巩固. 本书可作为高等院校理工科各专业的概率论与数理统计教材,也 可作为研究生、工程技术人员、科技工作者以及数学爱好者的参考用书.

本书遵循教指委相关指导文件和高等院校学生学习规律编写而成。践行四新理念，融入思政元素，注重理论与实践相结合。

前 言
本书主要面向高等院校理工类专业学生,作者在编写过程中注重把“教、学、做”融 为一体,并根据理工类专业的特点引入相关应用实例,力争编写出一本具有自身特色的教 材. 本书注重数学概念的实际背景和几何直观的引入,案例的选择更贴近人们的生活和生 产管理,更具有时代气息;本书注重启发与思考、理论联系实际,体现专业特色和现代数 学观点,提高学生解决问题的能力. 本书还介绍了相关的数学家和他们的主要贡献,在恰 当的章节或相关知识点融入思政内容以及习近平新时代中国特色社会主义思想,培养学生 的家国情怀和奉献精神,使他们具有勇于攀登、开拓创新、求真务实和精益求精的工匠精 神,有效提升了育人功能. 本书共九章,包括概率论和数理统计两部分,其中一至五章是概率论部分,六至九章 是数理统计部分. 由于理工科专业要求不同、学生数学基础参差不齐,所以本书内容会比 教学大纲要求多一些、比教师在课堂讲授的多一些,从而覆盖各个专业的要求、满足不同 程度学生的学习需要. 标有 . 号的内容可以不学,这些内容相对独立,删去不影响全书的 学习. 全书内容:第一章介绍概率论的基础知识,第二、三章介绍随机变量 (多维随机变 量) 及其分布,第四章介绍数学期望,第五章介绍大数定律与中心极限定理,第六章介绍 样本及抽样分布,第七、八章介绍参数估计和假设检验,第九章介绍回归分析基础. 本书理论体系结构合理,叙述深入浅出,论证严谨,例题丰富,习题数量适中. 书中 每节附有“基础练习”,以帮助学生随堂消化所学知识;每章从易到难配备了总习题,既有 针对基础知识的习题,也有针对有考研需求和基础好的学生而编写的具有一定综合性和难 度的习题;每章附有一套自测题,以帮助读者了解自己的学习情况和知识掌握程度.
本书 在例题和习题的选择上扩大涉及的范围,包括农业、商业、保险业、建筑学、电子学、物 理学、管理学、经济学、化学、医学和体育等. 在本书编写的过程中,不仅得到了河北省机器学习与计算智能重点实验室的支持,还 得到了机械工业出版社的相关工作人员的悉心指导,在此一并表示特别的感谢. 由于我们 水平有限,书中不当甚至谬误之处在所难免,恳请同行专家及读者批评指正.
编 者 2023 年 3 月

高等院校教师

目 录
前言
第一章 概率论的基础知识1
第一节 随机事件 1
一、随机试验 1
二、样本空间与随机事件 2
第二节 事件之间的关系与运算 3
一、事件之间的关系 3
二、事件之间的运算 4
三、事件运算的定律 6
四、事件域 8
第三节 事件的概率 9
一、概率的公理化定义9
二、概率的性质 10
第四节 确定概率的常见方法 14
一、统计方法 14
二、古典方法 15
三、几何方法 19
第五节 条件概率 21
一、条件概率的定义 22
二、乘法定理 25
三、全概率定理 27
四、贝叶斯定理 29
第六节 独立性 32
一、两个事件的独立性 32
二、多个事件的独立性 35
三、独立试验与 n 重伯努利试验 40
总习题一 42
自测题一 44
VI 目 录
第二章 随机变量及其分布46
第一节 随机变量的概念 46
第二节 离散型随机变量 49
一、离散型随机变量及其分布律 49
二、几种常见的离散型分布 50
第三节 随机变量的分布函数 58
第四节 连续型随机变量 62
一、连续型随机变量及其概率密度函数 63
二、几种常见的连续型分布 66
第五节 随机变量函数的分布 77
一、离散型随机变量函数的分布 77
二、连续型随机变量函数的分布 78
总习题二 83
自测题二 85
第三章 多维随机变量及其分布 88
第一节 二维随机变量及其分布 88
一、二维随机变量及其分布函数 88
二、二维离散型随机变量及其分布律91
三、二维连续型随机变量及其概率密度 93
第二节 边缘分布 99
一、边缘分布函数99
二、边缘分布律 100
三、边缘概率密度 102
第三节 随机变量的独立性 106
一、二维随机变量的独立性 106
二、n 维随机变量的独立性 111
第四节 条件分布 113
一、离散型随机变量的条件分布律113
二、连续型随机变量的条件概率密度 115
第五节 二维随机变量函数的分布118
一、二维离散型随机变量函数的分布 118
二、二维连续型随机变量函数的分布 119
三、随机变量取大和取小的分布 126
总习题三130
自测题三134
目 录 VII
第四章 数学期望 136
第一节 随机变量的数学期望 136
一、离散型随机变量的数学期望 137
二、连续型随机变量的数学期望 140
第二节 随机变量函数的数学期望144
一、一维随机变量函数的数学期望145
二、二维随机变量函数的数学期望148
三、数学期望的性质150
第三节 方差 155
一、方差的定义 155
二、离散型随机变量的方差 156
三、连续型随机变量的方差 158
四、方差的性质 162
第四节 协方差与相关系数 166
一、协方差与相关系数的定义 166
二、二维离散型随机变量的协方差与相关系数 168
三、二维连续型随机变量的协方差与相关系数 171
四、协方差与相关系数的性质 173
五、协方差矩阵与相关矩阵 * 177
第五节 原点矩与中心矩 180
第六节 条件数学期望 * 182
一、二维离散型随机变量的条件数学期望 182
二、二维连续型随机变量的条件数学期望 184
三、条件数学期望的性质 186
总习题四189
自测题四192
第五章 大数定律与中心极限定理 195
第一节 大数定律 195
一、切比雪夫不等式195
二、依概率收敛 196
三、几个常用的大数定律 197
第二节 中心极限定理 201
总习题五204
自测题五204
VIII 目 录
第六章 样本及抽样分布206
第一节 总体与样本206
一、总体与个体 206
二、样本 207
第二节 统计量的概念及常用统计量 209
一、统计量的概念 209
二、常用统计量 210
三、经验分布函数 211
第三节 统计量的抽样分布 213
一、χ2 分布 213
二、t 分布 216
三、F 分布 218
四、基于正态总体的抽样分布定理221
总习题六224
自测题六226
第七章 参数估计 228
第一节 参数的点估计 228
一、矩估计法 229
二、最大似然估计法231
三、估计量的评价标准 236
第二节 区间估计 240
一、置信区间及枢轴量法 240
二、单个正态总体均值与方差的区间估计 242
三、两个正态总体均值差与方差比的区间估计 246
第三节 单侧置信区间 252
总习题七257
自测题七258
第八章 假设检验 261
第一节 假设检验的概念 261
一、假设检验的基本思想 261
二、假设检验的基本概念和基本步骤 263
三、假设检验的两类错误 264
第二节 单个正态总体参数的假设检验 266
一、单个正态总体均值的假设检验266
目 录 IX
二、单个正态总体方差的假设检验271
三、假设检验和区间估计之间的关系 272
第三节 两个正态总体参数的假设检验 274
一、两个正态总体均值差的假设检验 274
二、均值未知,关于总体方差比的假设检验 278
总习题八282
自测题八283
第九章 回归分析基础 285
第一节 一元线性回归 285
一、回归模型的参数估计 286
二、回归方程的显著性检验 291
第二节 一元线性回归的预测和控制 297
一、预测 297
二、控制 299
第三节 一元线性回归的推广 300
一、一元非线性回归300
二、多元线性回归 303
总习题九308
自