《高等数学(理工类)》是编者充分考虑了物理类和对数学要求比较高的专业对高等数学的需求，并结合自身长期从事高等数学教学的经验编写而成的。全书分为上、下两册，本书为上册，内容包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用和微分方程。
《高等数学(理工类)》适合物理类、电类等对高等数学要求比较高的专业的学生学习使用，也可作为相关人员的参考用书。全书由云南师范大学方钢教授和严庆丽老师进行修改、整理及最后统稿。
更多科学出版社服务，请扫码获取。
《高等数学(理工类)》结构严谨，逻辑清晰，叙述详细，难点分散，例题丰富，通俗易懂，每小节后配有习题，书末附有习题参考答案，便于自学。
本书的一个特点是在重视基本理论、基本运算的基础上，加强数学建模的应用。书中每章后配有相关的大量数学建模的例题与实际应用，经多年使用证明，此举对提高学生数学能力及数学意识有很好的效果。全书由云南师范大学方钢教授和严庆丽老师进行修改、整理及最后统稿。
目录
序言
前言
第1章 函数与极限 1
1.1 函数 1
1.2 初等函数 10
1.3 极限 14
1.4 函数的连续性 36
1.5 闭区间上连续函数的性质 43
1.6 极限应用举例 45
总习题一 48
第2章 导数与微分 50
2.1 导数概念 50
2.2 求导法则和基本求导公式 57
2.3 复合函数及隐函数求导法 62
2.4 高阶导数 66
2.5 参数方程与极坐标求导法 69
2.6 微分及其应用 72
2.7 导数与微分应用举例 79
总习题二 81
第3章 微分中值定理与导数的应用 83
3.1 中值定理 83
3.2 洛必达法则 89
3.3 泰勒公式 95
3.4 函数单调性与极值 99
3.5 曲线的凹凸性、拐点、渐近线 108
3.6 函数的作图 112
3.7 应用举例 115
总习题三 116
第4章 不定积分 118
4.1 不定积贫的概念与性质 118
4.2 换元积分法 124
4.3 分部积分法 134
4.4 有理函数的积分 138
4.5 积分表的使用 145
总习题四 147
第5章 定积分 149
5.1 定积分的概念和性质 149
5.2 微积分基本公式 155
5.3 定积分的换元法和分部积分法 160
5.4 非正常积分（广义积分）*函数与B函数 166
总习题五 171
第6章 定积分的应用 173
6.1 定积分的微元法 173
6.2 定积分在几何上的应用 174
6.3 定积分在物理上的应用 185
6.4 定积分的其他应用举例 192
总习题六 196
第7章 微分方程 198
7.1 微分方程的基本概念 198
7.2 可分离变量的微分方程 201
7.3 齐次微分方程 206
7.4 一阶线性微分方程 211
7.5 几种特殊的高阶微分方程 216
7.6 线性微分方程解的结构 219
7.7 常系数齐次线性微分方程 223
7.8 常系数非齐次线性微分方程 227
总习题七 234
附录 常用积分公式 237
都分习题答案与提示 247
第1章 函数与极限
初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学则以变量为研究对象.所谓函数关系就是变量之间的依赖关系.极限方法则是研究变量的一种基本方法.本章将介绍变量、函数、极限、函数的连续性等基本概念以及它们的一些性质.
1.1 函 数
1.1.1 常量与变量
定义1.1 在某一过程中，数值保持不变的量称为常量（或常数）；数值不断变化的量称为变量（或变数）.
一个量是常量还是变量，在具体问题中要作具体分析.例如，就小范围地区来说，重力加速度可以看成常量，但就广大地区来说，重力加速度则是变量.以后，用字母a，b，c，d，.表示常量，用字母x，y，z，.表示变量.
1.1.2 区间与邻域
在数学中，常用区间表示一个变量的变化范围，下面介绍一些常用的区间符号.
设a和b都是实数，并且a＜b.
1.区间
（1）开区间（a，b）＝
x
a＜x＜b表示由满足不等式a＜x＜b的全体实数x构成的集合，在数轴上表示以a，b为端点，但不包含端点a和b的线段（图1.1）.
（2）闭区间
［a，b］＝｛x｜a≤x≤b｝表示由满足不等式a≤x≤b的全体实数x构成的集合，在数轴上表示以a，b为端点且包含a和b的线段（图1.2）.
（3）左闭右开区间
［a，b）＝｛x｜a≤x＜b｝表示由满足不等式a≤x＜b的全体实数x构成的集合，在数轴上表示以a，b为端点且包含左端点a的线段（图1.3）.
（4）左开右闭区间
（a，b］＝｛x｜a＜x≤b｝表示由满足不等式a＜x≤b的全体实数x构成的集合，在数轴上表示以a，b为端点且包含右端点b的线段（图1.4）.
左闭右开与左开右闭区间统称为半开半闭区间.除了上述4种有限区间外，还有如下5种无限区间：
（1）
（a，+∞）＝｛x｜x＞a｝表示由大于a的全体实数x构成的集合，在数轴上表示如图1.5所示.
（2）
［a，+∞）＝｛x｜x≥a｝表示由大于等于a的全体实数x构成的集合，在数轴上表示如图1.6所示.
（3）
（-∞，a）＝｛x｜x＜a｝表示由小于a的全体实数x构成的集合，在数轴上表示如图1.7所示.
（4）
（-∞，a］＝｛x｜x≤a｝表示由小于等于a的全体实数x构成的集合，在数轴上的表示如图1.8所示.
图1.7图1.8
（5）
（-∞，+∞）＝｛x｜-∞＜x＜+∞｝表示全体实数.注意：“+∞”（读作正无穷大），“-∞”（读作负无穷大）是引用的符号，不能作为数看待.
以后在不需要辨明所论区间是否包含端点，以及是有限区间还是无限区间的场合，就简称为“区间”，并且常用I表示.
2.邻域（设a为实数）
（1）设δ为任意一正数，则称开区间（a-δ，a+δ）为点a的δ邻域，记为U（a，δ），即U（a，δ）＝（a-δ，a+δ）＝
x
a-δ＜x＜a+δ
，其中点a称为这个邻域的中心（图1.9）.
图1.9
第1章 函数与极限?3?
由于a-δ＜x＜a+δ相当于｜x-a｜＜δ，因此，U（a，δ）＝｛x‖x-a｜＜δ｝.因为｜x-a｜表示点x与点a的距离，所以U（a，δ）表示与点a的距离小于δ的一切点x.
（2）有时要用到的邻域需要把邻域中心去掉，点a的δ邻域去掉中心以后，称为点a的去心邻域，记作（a，δ），即（a，δ）＝｛x｜0＜｜x-a｜＜δ｝，U°U°
其中0＜｜x-a｜就表示x≠a.注1.1 在不需要强调半径大小的情况下，将邻域U（a，δ）简记为U（a）.
1.1.3 函数
1.函数的定义
在同一个自然现象或技术过程中，往往同时有几个变量在变化着，这几个变量并不是孤立地在变，而是相互联系并遵循一定的变化规律，现在就两个变量的情况举三个例子.
例1.1 圆的面积S与它的半径r之间的关系由公式S＝πr2 确定，当半径r取定某一正的数值时，圆面积S相应有一个确定的值.■
例1.2 自由落体运动.设物体下落的时间为t，落下的距离为s，假定开始下落的
时刻为t＝0，那么s与t之间的相互依赖关系由公式s＝12 gt2 给定，其中g为重力加速
度.假定物体着地的时刻为t＝T，那么当时间t在闭区间［0，T］上任意确定一个数值时，由上式就可确定下落距离s的相应数值.■
例1.3 设有半径为r的圆，考虑内接于该圆的正n边形的周长Sn.由图1.10可
以看出，Sn＝2nrsinαn，其中αn＝π n ，所以内接正n边形的周长Sn
与边数n之间的相互依赖关系由公式Sn＝2nrsinπ n 给定.当边
数n在自然数3，4，5，.中任意取定一个数值时，由上式就可确定周长Sn的相应数值.■
由上面三个例子可以看到，它们都表达了两个变量之间的相依关系.这种相依关系给出了一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应，两个变量间的这种对应关系就是函数概念的实质.
定义1.2 设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每个数x∈D，变量y按照一定法则，总有唯一确定的数值和它对应，则称y为x的函数，记为y＝f（x），其中f叫做对应法则，数集D叫做函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量.
当x取数值x0∈D时，与x0对应的y的数值称为函数y＝f（x）在点x0处的函数值，记作f（x0）.当x遍取D的每个数值时，对应函数值的全体组成的数集
W＝｛y｜y＝f（x），x∈D｝称为函数的值域.
注1.2 符号y＝f（x）表示两个数集间的一种对应关系，因此，也可以用y＝φ（x），y＝F（x）等表示，但一个函数在讨论中应取定一种记法.当同一问题中涉及多个函数时，则应取不同的符号分别表示它们各自的对应规律，以免混淆.
注1.3 在实际问题中，函数的定义域是根据问题的实际意义确定的，因此，当不考虑函数的实际意义，而只抽象地研究用算式表达的函数时，就约定：函数的定义域就是使算式有意义的全体实数x构成的集合.
例1.4 函数y＝
1 的定义域是开区间D＝（-1，1）.■1-x2
例1.5 函数y＝ln（5x-4）的定义域应满足5x-4＞0，故定义域为
D ＝ 45，+∞ .■
例1.6 函数y＝arcsinx的定义域为D＝［-1，1］.■
在函数关系中，对确定一个函数起决定作用的关键因素是对应法则f和定义域D.今后，如果两个函数的对应法则f和定义域D都相同，则称两个函数为相同的（或者叫相等的）；否则，就称为不同的（或者叫不相等的）.至于自变量和因变量用什么记号表示则无关紧要，因此，只要定义域相同，对应法则相同，则这两个函数表示同一个函数.
例1.7 下列各对函数是否相同？为什么？
（1）f（x）＝x ，g（x）＝1；
x
（2）f（x）＝x，g（x）＝
x2；
（3）f（x）＝｜x｜，g（x）＝
x2.
解 （1）不相同，因为定义域不同，f（x）的定义域为D＝（-∞，0）∪（0，+∞），而g（x）的定义域为D＝（-∞，+∞）.
（2）不相同，因为对应法则不同，当x＝-1时，f（-1）＝-1，g（-1）＝1.
（3）相同，因为f（x）和g（x）的对应法则相同，定义域也相同，均为D＝（-∞，+∞）.■
2.函数的表示法
1） 解析法
对自变量和常数施加四则运算、乘幂、取指数、取对数、取三角函数等数学运算所得到的式子称为解析表达式.用解析表达式表达一个函数就称为函数的解析法，解析法也叫公式法.高等数学中讨论的函数大多由解析法表示，这是由于对解析表达式可以进行各种运算，便于研究函数的性质.这里有一点必须指出：用解析法表示函数不一定总是用一个式子表示，也可以分段用几个式子表示一个函数.另外，有些特殊函数并不是用解析式给出的，其对应关系是用“一句话”给出的，用约定的符号予以表示.
例1.8 函数y＝［x］＝n（n≤x＜n+1，n为整数）称为取整函数.例如，若x＝
1.5，则［x］＝1；若x＝57 ，则［x］＝0；若x＝-1.5，则［x］＝-2；若x＝π，则［x］＝3.也
就是说，若x为任意一实数，则不超过x的最大整数简称为x的最大整数，记为［x］.这一函数的图像是“阶梯”形，如图1.11所示.■例1.9 分段函数x， x≥0，
y＝f（x）＝｜x｜＝
x，x＜0的定义域为D＝（-∞，+∞），值域为W＝［0，+∞），其图像如图1.12所示.■
图1.12
例1.10 函数1， x＞0，y＝f（x）＝sgnx＝
0，x＝0，-1，x＜0称为符号函数，它的定义域为D＝（-∞，+∞），值域为W＝
1 ，0 ，1
，其图像如
图1.13所示.
对于任何实数x，关系式x＝｜x｜sgnx总成立.■
2） 表格法
在实际应用中，常把自变量所取的值和对应的函数值列成表，用来表示函数关系，这样的表示法称为表格法.
3） 图示法
在有的问题中，很难找到一个解析函数表达式来准确地表示两个变量之间的关系.有时，虽然可以用解析表达式表示函数，但是为了使变量之间的对应关系更直观形象，常把两个变量之间的对应关系用某条曲线表示出来，这种方法称为图示法.
函数的上述三种表示法各有优缺点，在具体应用时，常常是三种方法配合使用.
3.函数的几种特性
1） 函数的有界性
定义1.3 设函数f（x）的定义域为D，数集X炒D，如果存在K1（或K2），使得f（x）≤K1（或f（x）≥K2）对任意一x∈X都成立，则称函数f（x）在X上有上（或下）界，其中K1（或K2）称为函数f（x）在X上的一个上（或下）界.如果存在正数M，使得
f（x）
≤M对任意一x∈X都成立，则称函数f（x）在X上有界.如果这样的M不存在，则称函数f（x）在X上无界.例1.11 正弦函数y＝sinx和余弦函数y＝cosx为（-∞，+∞）上的有界函数，因为对每一个x∈（-∞，+∞）都有｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1.■
例1.12 函数y＝f（x）＝1 x 在开区间（0，1）内无上界，但有下界，如1就是它的一
个下界，但当1＜x＜2时总会有12＜ 1 x ＜1，故函数f（x）＝1 x 在开区间（1，2）内有界.
■2）函数的单调性定义1.4 设有函数y＝f（x）（x∈D），区间I炒D，如果对于I上的任意两点x1，
x2当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），则称f（x）在区间I上为严格单调，增加（或减少）的.如果对于I上的任意x1＜x2，恒有f（x1）≤f（x2）或（f（x1）≥f（x2）），则称f（x）在区间I上为单调增加（或减少）的.严格单调增加和严格单调减少的函数统称为严格单调函数，单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.
例1.13 函数y＝f（x）＝x2 在（0，+∞）上是严
格单调增加的，在（-∞，0）上是严格单调减少的，在
（-∞，+∞）内不是单调的（图1.14）. ■图1.14例1.14 证明函数f（x）＝x3 在（-∞，+∞）内是严格单调增加的（图1.15）.证 设x1，x2为（-∞，+∞）内的任意两点，当x1＜x2时，只需证明f（x1）＝x31＜
x32＝f（x2），即证明x31-x32＜0.事实上，x31-x32＝（x1-x2）（x21+x1x2+x22），而当x1＜x2时，x1-x2＜0，
x21+x1x2+x22＝x1+12 x22+ 34 x22＞0 ，
故x31-x32＜0，即x31＜ x32.
书单推荐
