本书全面阐述现代大气光学的研究内容和方法，主要包括大气的光学性质、大气折射、分子吸收和散射、气溶胶粒子光散射、光在混浊大气中的传播、光在湍流大气中的传播、大气中的成像，以及大气性质的光学探测方法和技术。本书为大气辐射和天文观测等基础研究以及激光大气传输、光学遥感技术、环境光学监测技术、自适应光学技术、自由空间光通信等先进光电工程应用提供基础数据、应用模式和基本工具。本书反映了大气光学研究的重要进展，可以作为大气光学及相关研究的教材和有益参考书。

   本书的读者对象包括：物理、光学类的研究生、高年级本科生、高等院校教师，光学、遥感、大气物理、天文等相关研究领域科研人员，光电工程类科技工作者、技术人员。

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目录
引言 1
0.1 古老而又年轻的学科 1
0.2 大气对光学的影响举例 1
0.3 现代大气光学概念 1
0.4 大气分子吸收及其应用 3
0.5 气溶胶粒子光学特性、混浊介质光传播和大气探测 4
0.6 大气端流光学性质及其应用 4
0.7 激光大气传输 5
0.8 大气光学模式和应用软件 6
0.9 本书的撰写动机 6
第1 章光学基本参量和基本规律 8
1.0 引言 8
1 光波基本参量与基本类型 9
1.1.1 基本光学量 9
1.1.2 偏提及Stokes参量 10
1.1.3 光场的相位及其奇性 12
1.1.4 光波的基本类型 14
1.2 光学辐射及其基本定律 17
1.2.1 光辐射及谱线特征 17
1.2.2 黑体辐射定律 22
1.2.3 电偶极辐射 23
1.3 光波基本传播规律 24
1.3.1 披动方程 24
1.3.2 光的直线传播：几何光学近似 25
1.3.3 Huyge胁Fresnel原理与衍射 26
1.3.4 孔径衍射 28
1.3.5 粒子的光散射 30
1.3.6 辐射传输方程 35
1.4 光学系统的像差与光学质量 37
1.4.1 相位的Zernike多项式表达与像差 37
1.4.2 光学质量评价方法 41
1.5 自然光源 45
1.5.1 天球坐标系和太阳与地球间的儿何关系 45
1.5.2 太阳辐射及月球的反射 49
1.5.3 恒星辐射 52
1.6 地表的反射与辐射特性 56
1.6.1 非均匀界面的反射特性及双向反射分布函数BRDF 56
1.6.2 典型地表的反射特性 60
1.6.3 典型地表的辐射特性 64
1.7 小结 64
参考文献 64
第2章 大气的基本物理特性 68
2.0 引言 68
2.1 大气成分与结构 69
2.1.1 大气成分 69
2.1.2 大气结构 76
2.2 云、雾粒子和雨滴 80
2.3 大气气溶胶粒子 87
2.4 大气中的风结构 94
2.5 大气端流及大气边界层 98
2.6 大气特性的随机性及其定量描述 104
参考文献 110
第3章 大气的光学特性及其应用模式 113
3.0 引言 113
3.1 标准大气及应用模式 113
3.1.1 美国标准大气及模式大气113
3.1.2 大气折射率及高度廓线 123
3.2 大气气体分子的吸收光谱特性 126
3.2.1 大气主要吸收气体分子的结构 126
3.2.2 紫外大气分子吸收特征 130
3.2.3 可见和近红外大气分子吸收特征 132
3.2.4 红外大气分子吸收特征 135
3.2.5 大气分子吸收光谱参数数据库HITRAN 140
3.3 大气气溶胶粒子光学特性及其应用模式 145
3.4 云、雾粒子和雨滴的光学特性及其应用模式 152
3.5 大气端流的光学特性及其应用模式 155
参考文献 163
第4章 大气分子对光的折射、散射和吸收 166
4.0 引言 166
4.1 球面平行大气中的折射 166
4.1.1 大气中的光线轨迹 166
4.1.2 天文折射 171
4.1.3 空气质量 173
4.1.4 大气延迟 176
4.1.5 落日形变（曙暮光） 176
4.2 地面非均匀大气中的折射 177
4.2.1 海市厦楼 178
4.2.2 大地测量 180
4.3 大气分子的Rayleigh散射 181
4.3.1 Rayleigh散射 181
4.3.2 返偏振修正 183
4.3.3 模式太气的Rayleigh散射特性 185
4.4 大气分子的吸收 190
4.4.1 单谱钱吸收 190
4.4.2 分立谱钱吸收的逐钱积分方法 194
4.4.3 大气分子吸收的谱带模式 195
4.4.4 大气分子吸收计算的光谱映射方法 211
4.5 非均匀路径的大气分子吸收 213
4.5.1 等效谱带模式 213
4.5.2 相关k分布方法 215
4.5.3 MODTRAN方案 215
参考文献 216
第5章 大气云露和气溶肢粒子的光散射 219
5.0 引言 219
5.1 球体粒子的光散射一Mie理论 219
5.1.1 入射光和散射光的球谐函数展开 220
5.1.2 时忧的分布和散射参量 223
5.1.3 Mie散射的数值计算方法 229
5.1.4 双层球体粒子的光散射特性 231
5.1.5 水云、雾和雨滴的光散射特性 232
5.2 无限长圆柱粒子的光散射 235
5.3 旋转对称粒子的光散射 241
5.3.1 T矩阵与扩展边界条件法 241
5.3.2 T矩阵在旋转对称粒子散射问题中的应用 246
5.4 旋转对称椭球粒子的散射特性 247
5.5 规则冰晶大粒子的光散射特性 254
5.6 任意形状粒子的光散射 260
5.7 非均匀粒子光散射的等效性 265
5.7.1 非均匀粒子光散射等效性的分析方法 265
5.7.2 外混合球形粒子光散射的等效性 267
5.7.3 肉泪舍球形粒子光散射的等效性 271
5.8 小结 272
参考文献 274
第6章 大气辐射传输理论与算法 277
6.0 引言 277
6.1 大气中的辐射传输方程及其形式解 277
6.1.1 平行平面太气中的辐射传输方程 277
6.1.2 平行平面大气中的辐射传输的边界条件 279
6.1.3 大气辐射传输方程的形式解 280
6.1.4 单次散射近似解 280
6.2 散射相函数及辐射传输方程的离散化 281
6.2.1 散射相函数的Legendre多项式展开 281
6.2.2 辐射传输方程的离散化 282
6.3 辐射传输方程的工流近似及相关近似解 285
6.3.1 二流近似解的基本形式 285
6.3.2 Eddington近似解 287
6.3.3 相函数δ函数化后的近似解 289
6.3.4 广义二流近似解的通用形式 290
6.4 辐射传输的离散坐标（DISORT）算法 291
6.4.1 单一均匀介质的DISORT算法 291
6.4.2 分层均匀介质的DISORT算法 296
6.5 光谱辐射亮度的精确求解 298
6.5.1 散射相函数的δ-Af处理方法 298
6.5.2 光谱辐射亮度的修正方法 300
6.6 常用算法软件和标准谱辐射传输问题 302
6.6.1 常用算法软件 302
6.6.2 DISORT 303
6.6.3 标准辐射传输问题 307
6.6.4 LOWTRAN/MODTAN/FASCODE 308
6.7 小结 308
参考文献 309
第7章 混浊大气中的辐射传输问题 312
7.0 引言 312
7.1 激光的大气透过率 313
7.2 红外大气透过率和辐射量修正 322
7.3 天空背景辐射亮度 326
7.3.1 可见光天空背景辐射亮度 326
7.3.2 可见光天空背景辐射亮度光谱特征 330
7.3.3 长被天空背景辐射亮度 333
7.3.4 强吸收波段的地球大气背景辐射亮度 334
7.3.5 地球大气背景辐射的偏振特性 335
7.4 太气中的视觉和大气能见度 343
7.4.1 均匀大气中的视觉问题 344
7.4.2 气象视距和大气能见度 346
7.4.3 非均匀大气中的能见度问题 349
7.5 大气中的辐射收支平衡 353
7.6 小结 365
参考文献 365
第8章 漏流大气中光传播的分析方法 368
8.0 引言 368
8.1 端流大气光传播的定性分析369
8.1.1 大气捕流对光传播影响的重要性 369
8.1.2 相位和到达角起伏的启发式分析 370
8.1.3 空同相干性的启发式分析 373
8.1.4 光强起伏的启发式分析 374
8.2 抛物型方程和光传播的数值模拟 379
8.2.1 抛物型方程 379
8.2.2 多层相位屏数值模拟 380
8.2.3 揣流相位屏的构造 382
8.2.4 光传播模拟的数值问题 384
8.2.5 平面波、球面波、Gauss光束和非理想披型的模拟387
8.2.6 数值模拟典型结果 390
8.3 几何光学近似、Rytov近似和谱分析方法 391
8.3.1 几何光学近似及谱分解法 392
8.3.2 Rytov橄扰近似及谱分解法 394
8.4 Markov近似和场的统计矩方程 398
8.5 Huygens-Fresnel相位近似法 401
8.6 球面波和Gauss光束的情况404
8.7 小结 407
参考文献 408
附录A 随机函数的谱分解 411
第9章 油流大气中的光传播效应 415
9.0 引言 415
9.1 空间相干性退化和相位起伏416
9.1.1 空间相干性退化 416
9.1.2 相位起伏 419
9.2 到达角起伏 421
9.2.1 干涉仪中的到达角起伏 421
9.2.2 孔径上的相位起伏和到达角起伏 423
9.3 相位校正与自适应光学技术428
9.3.1 揣流大气光传播的相位校正原理 428
9.3.2 端流大气光传播的相位校正技术 429
9.4 光强起伏（闪烁效应） 433
9.4.1 弱起伏条件下的闪烁效应 433
9.4.2 强起伏条件下的闪烁效应 435
9.4.3 冈烁强度的普适模型 438
9.4.4 有限面积上的光强起伏及孔径平均 442
6.5 阳光波起伏的概率分布与分形特征 446
9.5.1 光被起伏的概率分布特征 446
9.5.2 光强起伏的间歇性特征 451
9.6 光波起伏的时间频谱特征 454
9.6.1 光被起伏的时间频谱 454
9.6.2 光被起伏频谱的高频事律的拟合方法 457
9.6.3 揣流谱形状的影响 459
9.6.4 Gau邱光束的光提起伏频谱特征 460
9.6.5 有限孔径和饱和情况下的光披起伏频谱 462
9.7 激光束传播效应 463
9.7.1 激光束的漂移 464
9.7.2 撒光束的扩展 467
9.7.3 光强图像的光学质量与特征尺度 469
9.7.4 光斑的分形结构与相位奇点 473
9.7.5 聚焦光束的焦移 474
参考文献 475
第10章 高能激光大气传输的热晕及综合效应 481
10.0 引言 481
10.1 热晕效应的物理图像482
10.2 热晕的流体力学模型 485
10.3 简单情况下的热晕解析解 488
10.3.1 瞬变热晕时的密度时间滴化特征 488
10.3.2 柱坐标系下求解密度变化. 490
10.3.3 热晕时的相位变化 491
10.3.4 热晕光斑的基本特征 492
10.4 热晕的数值模拟方法 494
10.4.1 瞬变热晕的数值模拟方法 494
10.4.2 稳态热晕的数值模拟方法 496
10.4.3 热晕模拟的数值问题 498
10.5 热晕效应的定标规律 499
10.5.1 纯热晕效应的经验公式 500
10.5.2 热晕和端流的相互作用 502
10.5.3 热晕效应的相位校正 505
10.6 高能激光大气传输的综合效果 505
参考文献 511
第11章 混油和浦流大气中的光学成像 514
11.0 引言 514
11.1 大气介质与成像系统的调制传递函数 515
11.1.1 光场相干函数与成像系统的调制传递函数 515
11.1.2 背景光下大气介质中的成像 518
11.2 大气端流介质的光学传递函数与图像分辨率 519
11.2.1 丈气端流介质的光学传递函数 519
11.2.2 揣流大气中望远镜的分辨本领 520
11.3 大气混地介质的调制传递函数 522
11.3.1 大气泪沌介质调制传递函数的近似解析结果 523
11.3.2 大气泪油介质调制传递函数的数值计算结果 526
11.3.3 太气泪浊介质调制传递函数的实测结果 528
11.3.4 混浊介质调制传递函数的一般形式532
11.4 图像大气影响的修正方法和技术538
11.4.1 自适应光学实时校正技术 539
11.4.2 图像处理方法 541
11.4.3 基于成像过程的大气影响修正技术 541
1 1.5 小结 543
参考文献 544
第12章大气摞测的光学方法与技术 547
12.0 引言 547
12.1 光学遥感技术中的反演方法 547
12.1.1 反演问题的数学模型 548
12.1.2 钱性约束反模方法 549
12.2 太气吸收光谱和透过率测量技术 552
12.2.1 长程高分辨率大气吸收光谱测量技术 552
12.2.2 高分辨率大气吸收光谱测量方法 555
12.2.3 实际大气透过率和吸收光谱制量技术 561
12.2.4 利用太阳辐射测量整层大气光学厚度 563
12.3 大气气溶胶粒子光散射技术 565
12.3.1 太气气榕胶粒子尺度散射测量技术：光学粒子计数棒 565
12.3.2 大气介质散射特性测量技术：能见度仪、积分和极角浊度计 569
12.3.3 从散射相函数反清大气气溶肢粒子谱分布 574
12.4 大气后向散射技术：激光雷达 577
12.4.1 激光雷达工作原理 577
12.4.2 激光雷达方程求解方法 580
12.4.3 差分激光雷达探测大气吸收气体成分 583
12.4.4 通过硬件技术求解激光雷达方程 585
12.4.5 Doppler测风激光霄达技术 588
12.5 太气端流特性测量技术 589
12.5.1 局域端流强度测量技术：温度脉动法和折射率脉动法 590
12.5.2 路径平均的端流强度测量技术：闪烁法和到达角起伏法 592
12.5.3 揣梳功率谱和特征只度的测量技术 594
12.5.4 大气揣流强度廓线的测量 598
12.6 小结 603
参考文献 603

第 1 章 光学基本参量和基本规律

1.0 引 言

作为大气光学主要内容的大气光学性质、光波大气传输、大气光学探测及其在 相关学科的应用基本涉及了光波的各种物理本质(如波长、强度、相位、偏振)、各 种传播规律 (如折射、反射和衍射), 以及光波和物质作用的基本物理过程 (如吸收和散射等)。

大气可以划分为由微粒组成的离散混浊大气介质和由热运动分子构成的“连 续” 湍流大气介质。大气气体分子对短波长光波有明显的散射作用, 即 Rayleigh 散射 ―― 蔚蓝色天空的成因。它最重要的光学性质就是光谱吸收特性,不同的气 体成分有不同的吸收特征。尘埃粒子一般称为气溶胶粒子, 根据其起源的不同光学 性质有明显的差异。作为流体的大气,由于温度等要素的微弱起伏, 导致空气密度 (折射率) 的微弱起伏, 从而形成了光学湍流, 对定向光传播产生重要影响。

对两种影响的处理方法也有差异：混浊介质中的光传播主要以光强为研究对 象, 其主题是辐射传输方程的求解;湍流介质中的定向光传播问题主要以光场的电 矢量为研究对象, 其主题是波传播方程的求解。

对于混浊大气的辐射传输问题, 在短波范围内, 其光源就是太阳; 而在长波范 围,光源则是作为灰体的地球和大气本身。辐射光谱亮度和通量密度则是两个人们最关注的物理量。决定这一过程的是基于吸收和散射的辐射传输方程。

对于光波的定向大气传播问题, 除在成像问题中所涉及的是自然的光源外, 在其他应用中大都是人造光源。平面波和球面波是两种理想化的波型, 激光出现后, Gauss光束成为一种实际应用最广泛的波型。在光传播的实际应用中, 能量的集中度和成像质量是评价光学系统品质和传播介质对光波影响的两个主要的因素。 决 定这一过程的是基于电磁场传播的傍轴近似抛物型方程。

地表对光的反射是大气中的光传播问题和大气辐射传输问题中的重要边界条 件, 在一般的书籍中对这一问题都没有过多的讨论,本书特别给予了较为详细的 论述。

本书采用国际单位制, 但各种物理量的单位在各种文献中, 特别是早期的文献 中各不相同。在不影响理解的前提下,我们在叙述中采用一个特定的常用单位。但在所有的公式计算中一律以国际单位制表述。

1.1 光波基本参量与基本类型

1.1.1 基本光学量

光波是波长位于特定范围内的电磁波, 这个特定的波段范围通常包括紫外、可 见光和红外。作为第一个基本参量的波长(wavelength) ., 不同的文献中在表述时 采用了不同的单位, 常见的有微米和纳米等。本书一律以微米 (m)来叙述。

在吸收光谱问题中, 常常以波长的倒数即波数 (wavenumber) o ′ 1=. 来表示 光谱位置, 其单位通常采用cm.1, 对应的波长为 10000/o (m)。在电磁波动方程中 一般都用到角波数 k ′ 2=.,它一般也被称为波数。另外一般也常用 o ′ c=. 表示 电磁波的频率。这些都易引起混淆, 为避免这一情况的发生, 本书只采用 o ′1=. 的表达方式。

由于电磁波是横波, 沿 z 方向 (单位矢量为 k) 传播的光场的电矢量 E 位于垂 直于传播方向的 (x,y) 平面内。若以yz 为参考平面, 则电矢量的 x 分量 (单位矢量 为 i) 为垂直于参考平面的分量 E?, y 分量 (单位矢量为 j)为平行于参考平面的 分量 E==

E = Exi + Eyj = E?i + E==j (1.1.1)

电矢量的任一分量 E 可由振幅 (amplitude) A 与相位 (phase) S 或波前 (wave- front) .= S=k 来表达, 波前 . 定义为传播路径的长度 (常以波长为单位), 而相位 S 正比于传播路径的长度与波长的比值

E = E1 + iE2 = Aexp[iS] = Aexp[ik.] (1.1.2)

光强为

I = E¤E = A2 (1.1.3)

在定向光传播问题中, 由于光源一般是单色光, 且传播方向局限在很小的方向 范围内, 通常使用光强描述光的能量。光强(irradiance) I 一般定义为单位面积内 通过的光功率, 单位为 W/m2。

在辐射传输等问题中, 由于光源具有宽广的光谱范围, 光波一般充满空间各个 方向, 所以通常使用光谱强度 (或光谱辐射亮度)描述光波的能量。光谱辐射亮度 (radiance) I. 定义为单位波长间隔的光波在单位立体角内通过单位面积的功率, 单 位为W/(m3￠sr)。光谱辐射亮度也常常定义为单位波数间隔的光波在单位立体角内 通过单位面积的功率 Iv = .2I., 单位为W/(m￠sr)。

立体角 (solid angle) 为以观测点为球心对应于一个特定方向上的球面积与半 径平方的比值, 其单位为球面度(sr)。在球坐标系中如果以 μ 和 á 分别表示天顶角 (zenithal angle) 和方位角 (azimuthalangle), 则微分立体角元为

d- = sin μdμdá (1.1.4)

如图 1.1.1 所示。因而, 全空间的立体角为 4sr, 半空间的立体角为 2sr。

图 1.1.1 球坐标系中的方位角和微分立体角元

来自半空间各个方向入射到观测平面单位面积内的光功率是其法线分量的积 分, 称为单色辐照度 (monochromaticirradiance)

F. = Z- I. cos μd- = Z 2 0 Z =2 0 I.(μ; á) cos μ sin ádμdá(1.1.5)

其单位为 W/m3。在辐射传输问题中, 一般使用天顶角的余弦 1 = cos μ 进行计算分析。对光波涵盖的光谱区内的单色辐照度进行积分, 即得到辐照度 (irradiance)

F = Z. F.d. (1.1.6)

请注意, 这里的辐照度 F 对应于定向光传播问题中的光强 I。由于各自研究方向的 习惯问题, 采用了不同的符号。

1.1.2 偏振及 Stokes 参量

电磁波的偏振 (polorization) 状态是其携带的重要信息, 如果两个分量具有同样 的相位, 则电磁波是线(linear) 偏振的; 如果两个分量的相位相差 =2 且振幅相等, 则电磁波是圆 (circular) 偏振的;在一般具有固定相位差的情况下是椭圆 (elliptical) 偏振的; 如果两个分量的相位差是完全随机的,则电磁波是非偏振的。通过一组四个 Stokes 参量, 可以完成确定电磁波的偏振状态。它们的定义为 (Bohren andHu.man, 1983)

I = E==E¤== + E?E¤?= A2== + A2? (1.1.7a)

Q = E==E¤== . E?E¤?= A2== . A2? (1.1.7b)

U = E==E¤?+ E¤==E? = 2A==A? cos(S? . S==) (1.1.7c)

V = i(E==E¤?. E¤==E?) = 2A==A? sin(S? . S==) (1.1.7d)

式中, I 为两个分量的光强之和; Q 为两个分量的光强之差。这四个量可以通过 光强测量配合一个线偏振器和一个 1/4波带片来确定。由于只有三个独立的参数 A==;A?; S? . S==, 四个参量满足

I2 = Q2 + U2 + V 2 (1.1.8)

上述 Stokes 参量都是针对单色 (monochromatic) 光而言的, 对有一定宽度的 准单色(quasi-monochromatic) 光, (1.1.7) 各式都应该理解为定义在平均意义上, 此时

I2 > Q2 + U2 + V 2 (1.1.9)

在测得 Stokes 参量的情况下, 我们可以求得电磁波中偏振分量的含量, 即偏振 度 (degree ofpolarization) 为

P = pQ2 + U2 + V 2 I (1.1.10)

式中, 线偏振分量的偏振度为

Pl = pQ2 + U2 I (1.1.11)

圆偏振分量的偏振度为

Pc = VI (1.1.12)

如果该值为正, 则圆偏振分量是右旋的 (朝向光源看, 电矢量顺时针旋转); 如果该 值为负, 则圆偏振分量是左旋的;如果该值为零, 则没有圆偏振分量。线偏振分量的 方向角度 (线偏振分量和平行分量按顺时针方向的夹角) 由下式确定：

° = 12 arctanμUQ. (1.1.13)

偏振的椭率 (ellipticity) 为

′ = 12 arctan. V pQ2 + U2! (1.1.14)

如果电磁波是非偏振的, 则 Q = U = V = 0。

由于 Stokes 参量都是对应于光强性质的量, 当多束光波沿同一方向非相干叠 加 (即各光束间没有固定的相位关系) 传播时,总光束的 Stokes 参量是各束光的 Stokes 参量之和。

1.1.3 光场的相位及其奇性

由式 (1.1.2) 可得空间任意一点 . 的电磁场的相位的主值

S(.) = arctanμE2(.) E1(.). (1.1.15)

位于 (.; )。由于 E(.) 是时空位置的平滑单值函数, 因此沿着一个时空回路 C, 相位 S 的改变只能是 2m (m是整数)。如果 m 不为零, 让回路 C 收缩到一个非 常小的区域而使 m 不变, 那么相位 S 的变化速率将趋于无穷大, 因而回路C 包围 了一个奇点。场 E 的平滑性使得相位的奇点只能出现在 E(.) = 0 的位置, 此处相 位 S 具有不确定的值。m一般称为相位奇点的拓扑荷 (topological charge)。

如果二维平面内的光场具有相位奇性, 当它和均匀光场进行干涉时, 相位奇点处的干涉条纹就会出现分岔现象。相位奇点并不仅仅是数学或物理上的理论现象, 它也表现在现实世界中, 图 1.1.2为一张大漠沙浪的照片, 就是一幅绝妙的有相位 奇点的干涉条纹图 (饶瑞中, 2005)。

图 1.1.2 大漠沙浪 ―― 相位奇性的自然表现

由于相位奇点处的干涉条纹会出现分岔, 故相位奇点一般被称作相位歧点 (branch point)。相位歧点一般是成对出现的(拓扑荷具有相反的符号)。在相位歧 点存在的情况下, 为了获得最简单的单值相位分布, 可将相邻的异性歧点连接起来 [连线称作削线(branch cut)], 在削线的两侧相位出现跃变, 如图 1.1.3 所示 (Fried and Vaughn,1992)。

相位代表了光波的局域传播方向, 光波的等相位面 (波前) 的法线方向与光波 的能流方向一致。显而易见,在光强为零的相位歧点处能流成为涡旋。图 1.1.4 是 半无穷大平面衍射的光强分布和能流方向分布图 (Born and Wolf,1999)。因此, 二 维平面内的一个相位歧点对应于三维空间的一条光学涡丝。在复杂光场中, 相位歧 点不止一处,一般通称为光学涡旋。

图 1.1.3 光场中的相位歧点及削线

图 1.1.4 半无穷大平面衍射的能流方向

在一个背景光场 Eb(r; μ; z) 的 r0 位置上存在一个特征尺度为 !v 的光学涡旋的光场可以在柱坐标系下表示为

E(r; μ; z) = Eb(r; μ; z)V (r; r0; μ; z) (1.1.16)

其中涡旋函数为

V (r; r0; μ; z) = A(r; r0; z)eimμ (1.1.17)

一个光学涡旋的振幅轮廓函数可以有多种形式。两种典型的振幅函数分别为 光学涡旋孤子对应的双曲正切涡旋和圆柱波导中产生的径向涡旋,它们的表达形式 分别为 (Rozas, Law and Swartzlander Jr., 1997)