数学文化与不等式：探究式学习导引是为数学专业学生撰写的一本探究式学习方法的著作, 为高等院校课程改革提供一定的探索经验. 主要内容包括第1 章简单介绍新生研讨课的特点和要求, 以及探究式学习的基本方法, 给出数学学科与数学专业的简介; 第2 章简单介绍数学文化, 阐述数学是什么, 介绍数学文化、数学趣事、数学思想与数学简史; 第3 章和第4 章是不等式及其应用探究式学习方法专题案例选讲; 第5 章给出探究式学习报告或毕业设计报告范例. 数学文化与不等式：探究式学习导引部分章后附有习题, 书后附有习题解答与提示.

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    适读人群 ：数学及相关专业的本科生、研究生、教师、工程师等。《数学文化与不等式——探究式学习导引》也适合于数学爱好者甚至哲学家阅读。
    数学文化与不等式：探究式学习导引可作为高等学校文科、理科和工科各类本科生素质教育, 特别是数学专业一年级新生研讨课的专门教材, 也可作为高中生、研究生、大学教师、哲学家的参考用书或课外读物

第1 章绪论
现在大学正在尝试开设一门新课程——新生研讨课.这门课程的主要目的是引导学生进行探究式学习,为将来从事科学研究和更进一步的深入研究、探讨打下坚实的基础.因此在绪论中我们首先介绍新生研讨课的特点和要求,其次介绍探究式学习的基本方法和一般理论,最后介绍数学学科的一些重要特点以及大学与中学的重要区别.
1.1 新生研讨课的特点
新生研讨课是为大学一年级刚入学的学生开设的,旨在引导学生研究性学习的一门课程.具体地说,本课程旨在使新生了解所学专业,激发其求知欲、好奇心和研究兴趣,培养其积极思考、讨论和探究式学习的习惯,逐步形成创新思维能力,感受教授治学风范,营造学术氛围,引导构建探索为本的新生研讨课,促进课程教学改革.目前,各个大学都在尝试探索,暂无统一的教学计划.根据我们的教学经验,新生研讨课具有以下特点.
1.1.1 学习方式不太固定,但有发散式的思维
学习方式不太固定,但需要发散式的思维,学习与科学研究紧密结合,本书以引导学生探索和研究为目的,强调师生互动和学生自我学习,养成探究式学习的习惯,激发学生的探究式学习兴趣和追求奋发向上的拼搏进取精神;在学习的过程中发现并提出一些问题,探讨研究一些问题,回答解决一些问题,带走留下一些问题;积极开展合作讨论研究,参与科学研究,了解追求科研的探索过程,为今后开展高层次探究式学习、研究和钻研探索打下坚实的基础.
1.1.2 课程内容不太固定,但有丰富的资源
课程内容不太固定,但有丰富的资源,既有经典的内容,也有追踪前沿研究问题,鼓励交叉学科问题的探讨,引导学生从中学知识出发,很快走向现代国际前沿问题的研究探讨.
例如,新生入学后比较迷茫,自然会思考大学和中学有什么不同？来大学干什么？很多同学不清楚大学的特点,以致高中时非常优秀的学生到了大学后跟不上学习的要求,导致退学等现象经常发生.新生研讨课应该解决这个问题,其中包括大学文化、专业导航、经历认知、学习方法浅谈、体会研究、引导互动等.如何学知识长文化？应该读什么书？学科的名著(含名教材)、著名文章(著名杂志)是什么？数学是什么？从数学家的故事、数学史、数学学派以及数学文化等培养广泛的数学学科兴趣和爱好,开阔视野,激发学生的学习和研究兴趣以及创新意识[1,3,4.7]. 
此外,如何进行研究性学习或探究式学习？一些研究性学习专题选讲构成了本课程的主要内容.鉴于本科生刚入学,没有高等数学的基础,我们以基本的“不等式及其应用”专题选讲作为主要内容来介绍研究性学习的基本过程和方法,建立中学知识和大学知识的衔接,逐渐引导学生学习探讨大学数学中基本的不等式,追求高等数学的知识,引导学生进入大学课程的学习,带领学生开展科学的研究.
1.1.3 授课方式不太固定,但有明确的教学安排
授课方式不太固定,但有明确的教学安排,既有教师讲授,也有学生的分组总结和讲解,鼓励学生课堂上积极发言,提出问题讨论或反驳,进行探索和研究.在探索和研究的教学过程中,激发学生的探索意识、求知欲、好奇心和学习兴趣,提高学生的认知能力和创新思维的能力.
1.1.4 无传统的考试考核,但有学习和创新能力的考核
不采用传统的考试考核方式,但要考查学生探究式学习的能力和探索未知的创新能力,包括资料的收集和阅读能力、视野的开拓能力、与同学和老师的合作与交流能力、看问题的反应能力、批判性的思考能力和反驳能力、课堂的讲解交流表达能力,以及解决问题等综合素质和能力.
1.2 新生研讨课的要求
学生讲授部分的要求：分组配发材料,看材料,查找文献,掌握概念,想问题,合作探讨研究,提出问题,产生创意,学知识,写出总结,分组总结和讲解,同组或其他小组提问或反驳,探讨问题,特别要鼓励同学们在课堂上提出问题并讨论.
4个到5个学生一组,每组就参考教材、教师分发的材料或教师布置材料的相关内容中,针对某一问题或内容研讨学习后在课堂上演讲.例如,以一个不等式内容为例,学生研究讲解内容包含:一个选题的引言,如为什么选择这个不等式？这个不等式的产生历史背景等;提出和陈述问题,自己给出将探索研究的问题的形式,如定理或结论;证明该结论,使用不同的方法给出定理或结论的证明;思考研究问题,给出问题的应用或推广.
学生讲解具体要求如下：
(1)4人到5人一组,自愿结合(分组定出组员名单).
1.3 探究式学习的基本方法3 


(2)每组撰写一份探究式学习报告,内容范围一般为某个专题,如不等式及其应用,专题可以自选内容,也可以在指定的参考教材如《不等式及其应用》[2,8]中,选择适当内容,仔细阅读,研究探讨,查找相关资料,撰写探究式学习报告,形成课堂讲授教案,如,从中学的不等式出发,探究一些不等式的发展史和建立这些不等式的数学家的事迹,探究这些不等式的各种形式,多种证明方法以及它们在高等数学中新的形式及其应用.


(3)每个小组做好电子版讲义到课堂讲解,要求每组中每人讲解10分钟,每组提出2个到3个需要讨论的问题,让大家一起讨论;学生或老师进行课堂总结,提出新的问题留给学生研究.




考试可以采用考察的方式或计分的方式,考试计分可以按照如下方式计分：学生研究性学习报告占50%,课堂讲授和讨论发言占30%,练习2次占20%.
学生探究式学习报告是指学生针对教师和学生共同商讨的学习研讨资料而撰写的专题研究性报告.探究式学习报告的撰写格式要求,包括题目、摘要、关键词、正文和参考文献等.
1.3 探究式学习的基本方法
探究式学习的基本出发点是激发学生的求知欲、好奇心和研究兴趣,培养其积极思考、讨论和探究式学习的习惯,为将来从事科学研究打下坚实的基础.因此,方法的学习或想法的启发引导、刨根问底和打破砂锅问到底的训练、发散式思维或爆发式思维的培训等都是新生研讨课程永恒的主题！特别地,探究式学习的基本过程和方法包括以下几点:
(1)当我们遇到问题时,应该干什么或如何下手？如何想问题或者思考问题？从什么角度解决这个问题？
什么是成功和失败？成功就是尝试的办法行得通,克服了困难,找到了解决问题的办法;失败就是尝试的办法行不通,在尝试的过程中允许失败,事实上,很多成功都建立在无穷次的失败之上,失败是成功之母.经过不断的失败,不断地总结失败的经验教训,修改失败的方法经验,寻找失败的原因,最后找出解决问题的办法.
尝试一些办法碰碰运气,或者失败或者成功,这是我们遇到问题时首先应该能预料到的事情.
(2) 当找到一个解决问题的办法时, 我们应该怎么做？
应该考虑我们是否能找到一些其他办法来重新解决这个问题.这是我们钻研探究问题的一个重要环节！
(3) 当解决问题后, 我们应该怎么做？
应该及时总结,回顾解决问题的整个过程,能明白为什么成功了？有哪些经验和观念值得我们记下来,这些经验对数学学科的发展是否有贡献？
这是我们钻研探究问题的一个重要过程,对于更进一步的深层次探讨研究是至关重要的.
我们将以不等式及其应用专题选讲来介绍探究式学习的基本方法和规律,介绍教与学的一般规律.
本书中的不等式及其应用专题探究式学习报告,将从中学数学课程中基本的初等不等式出发,导出大学数学中的一些重要不等式,探讨这些不等式在偏微分方程、计算数学、概率论和组合数学等研究领域的应用.这些不等式包含完全平方、绝对值和均值等初等不等式,Cauchy不等式、Young不等式、Jensen不等式、幂平均不等式、伯努利不等式等大学数学中的重要不等式.这些内容为将来学习H¨older不等式、Minkowski不等式、Poincar′e不等式、Hardy不等式等高等不等式打下坚实的基础.主要的内容和要求是探讨这些不等式的初等几何和高等证明,研究这些不等式在一些学科研究领域的应用,并了解建立这些不等式的伟人事迹及其背后的故事.本书与其他教材最大的不同之处,在于采用了启发研讨式撰写方式,教会学生怎么学习和研究.
本书在数学文化部分告诉学生什么是数学、什么是数学修养,以及数学家如何跌倒、如何在迷茫中摸索前行、如何从支零破碎中得到他们的成果,能使从事研究工作的新手鼓起勇气.
应该指出,研究成果尤其是基础理论研究成果的取得,需要经历一个非常艰难而又漫长的道路,而且在取得创造性成果的过程中需要斗争、挣扎,需要经历无数次挫折和磨炼,甚至在这个过程中,可能几乎没有收获(包括物质上的收获),或者说这个过程完全是一个为理想和兴趣而奋斗的过程.当然,社会会永远记住你为它作出的贡献,包括提供物质上和精神上的支持.学生一旦认识到这一点,他不但可以获得真知灼见,还将获得顽强地追逐他要解决问题的勇气,并且不会因为自己的工作并非完美无缺而感到颓废,就会以克服困难为兴趣而工作！
1.4 数学学科与数学专业简介
1.4.1 数学一级学科简介
数学起源于远古时期人类生产、获取、分配、交易等活动中的计数、观测、丈量等需求,并很早就成为研究天文、航海、力学的有力工具.17世纪以来,物理学、力学等学科的发展和工业技术的崛起,与数学的迅速发展形成了强有力的相互推动.到19世纪,已形成了分析、几何、数论和代数等分支,概率已成为数学的研究对象,
1.4 数学学科与数学专业简介5 


形式逻辑也逐步数学化.与此同时,在天体力学、弹性力学、流体力学、传热学、电磁学和统计物理中,数学成为不可缺少的定性描述语言和定量研究工具[9]. 
20世纪中,数学科学的迅猛发展,进一步确立了它在整个科学技术领域中的基础和主导地位,并形成了当代数学的三个主要特征：数学内部各学科高度发展和相互之间不断交叉、融合的趋势;数学在其他领域中空前广泛的渗透和应用;数学与信息科学技术之间巨大的相互促进作用.
数学与科学技术一直以来有着密切联系,在20世纪中叶以后更是达到了新的高度.第二次世界大战期间,数学在高速飞行、核武器设计、火炮控制、物资调运、密码破译和军事运筹等方面发挥了重大的作用,并涌现了一批新的应用数学学科.其后,电子计算机的迅速发展和普及,特别是数字化的发展,使数学的应用范围更为广阔,在几乎所有的学科和部门中得到了应用.数学技术已成为高技术中的一个极为重要的组成部分和思想库.此外,数学在向外渗透的过程中,与其他学科交叉,形成了诸如计算机科学、系统科学、模糊数学、智能计算(其中相当部分也被称为软计算)、智能信息处理、金融数学、生物数学、经济数学、数学生态学等一批新的交叉学科.
在21世纪,科学技术的突破日益依赖学科界限的打破和相互渗透,学科交叉已成为科技发展的显著特征和前沿趋势,数学也不例外.数学的各个学科分支之间交叉融合;数学与其他学科互相影响渗透.随着实验、观测、计算和模拟技术与手段的不断进步,数学作为定量研究的关键基础和有力工具,数学在复杂系统研究和相关学科的交叉融合中起到不可替代的重要作用,在自然科学、工程技术和社会经济等领域的发展研究中发挥着日益重要的作用.
数学是以形式化、严密化的逻辑推理方式,研究客观世界中数量关系、空间形式及其运动、变化,以及更为一般的关系、结构、系统、模式等逻辑上可能的形态及其变化、扩展.数学的主要研究方法是逻辑推理,包括演绎推理与归纳推理.演绎推理是从一般性质对特定对象导出特定性质,归纳推理是从若干个个别对象的个别性质导出一般性质.
由于数量关系、空间形式及其变化是许多学科研究对象的基本性质,数学作为这些基本性质的严密表现形式,成为一种精确的科学语言,成为许多学科的基础.20世纪,一方面,出现了一批新的数学学科分支,如泛函分析、拓扑学、数理逻辑等,创造出新的研究手段,扩大了研究对象,使学科呈现出抽象程度越来越高、分化越来越细的特点;另一方面,尤其是近二三十年来,不同分支学科的数学思想和方法相互交融渗透,许多高度抽象的概念、结构和理论,不仅成为数学内部联系的纽带,也已越来越多地成为科学技术领域广泛适用的语言.
作为20世纪中影响最为深远的科技成就之一,电子计算机的发明,本身也已充分展现了数学成果对人类文明的辉煌贡献.从计算机的发明直到其最新的进展,数学都在起着关键性的作用;同时,在计算机的设计、制造、改进和使用过程中,也向数学提出了大量带有挑战性的问题,推动着数学本身的发展.计算机和软件技术已成为数学研究新的强大手段,其飞速进步正在改变传统意义下的数学研究模式,并将为数学的发展带来难以预料的深刻变化.数值模拟、理论分析和科学实验鼎足而立,已成为当代科学研究的三大支柱.
数学作为一种文化,是人类文明的重要基础,它的产生和发展在人类文明的进程中起着重要的推动作用.数学作为最为严密的一种理性思维方式,对提高理性思维的能力具有重要的意义和作用.
数学与下列一级学科密切相关：信息与通信工程、控制科学与工程、计算机科学与技术、物理学、化学、天文学、生物学、系统科学、统计学、力学、社会经济学、公共卫生与预防医学、药学、军事装备学、管理科学与工程、科学技术史、教育学、心理学等. 
1.4.2 数学学科研究方向与专业简介
数学科学按其内容可分成五个大学科：
(1)基础数学(puremathematics);


(2)应用数学(appliedmathematics);


(3)计算数学(computationalmathematics);


(4)运筹学与控制论(operationalresearchandcontrol);


(5)概率论与数理统计(probabilityandmathematicsstatistics).




国务院学科分类号：07理学;一级学科：0701数学;二级学科：070101基础数学、070102计算数学、070103概率论与数理统计、070104应用数学、070105运筹学与控制论.
数学自身特色鲜明,自成体系,作为一级学科的数学是一个范围广阔、分支众多、应用广泛的科学体系,已构成包括基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论、数学教育这6个研究方向.
1. 基础数学
基础数学又称为纯粹数学,是数学的核心.它的思想、方法和结论是整个数学科学的基础,是自然科学、社会科学、工程技术等方面的思想库.基础数学包含数理逻辑、数论、代数、几何、拓扑、函数论、泛函分析、微分方程等众多的分支学科,并且还在源源不断地产生新的研究领域,范围异常广泛,总体而言,远远超出了一般意义下的一个“研究方向”的研究范畴.
2. 计算数学
计算数学是研究对科学技术领域中数学问题进行数值求解,特别是电子计算