题根·初中数学_陈忠怀　主编，熊莎，郑莎，郑纯，吴汉仁　编著_9787544065184

　　题根不要求学生解那么多的题。不管是数学、物理、生物还是化学，按照题根由简到繁的认知过程，它把复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，把未知转化为已知。一句话，题根的思想就是化难为易，这就是题根思想带给学习者的效益。这套“题根丛书”是研究性学习的一种案例教材，它不刻意强调知识的覆盖性，它特别强调思维过程的完整性、合理性和中学生的可接受性。
　　每一篇含如下五个部分：
　　（1）题根案例。选择一个浅显易懂、引人入胜的例子（与生产、生活相联系的实际问题、最能说明题根主题的叙事性情节）作为课题引伸、拓展的锲子；选择一个拥有最基本知识、综合性好、具有典型意义的数学试题，进行知识解析、考点分析、易错点剖析。
　　（2）理论基础。系统总结、归纳和运用本题根所需要的各项基本知识。
　　（3）考场精彩。从历届中考题（或备考题）中选择一些最能够体现本题根应用价值的试题，并给出符合题根思想的解析。
　　（4）题根拓展。以本题根为基础，向有解题或思维价值的方向延伸或推广，力求覆盖尽可能多的重要知识点或考点。
　　（5）题根精练。少而精，给出内容覆盖好的对应考题让学生巩固训练，并附精练、准确的参考答案。

　　题根1 整数从来是根本
　　2013年，一位家长在武汉“汉网”上发出一道数学征解题：
　　某年的7月有4个星期一和4个星期五，那么这一年的7月1日是星期几？
　　从题的性质来看，几乎一切“正规”的初、高中数学知识都派不上用场，所以该题不仅难倒了大批学生，也难倒了他们的家长.而它，只不过是一道小学课外趣题.
　　这道题真的很难吗？
　　解题之前，先得明白题意.7月有31天，所以不管是星期几，这个月都会出现至少4次，至多5次.如果这个月恰“有4个星期一和4个星期五”，其含义是：不管是星期一还是星期五，都不能出现5次.
　　当一个问题从正面思考不好解决时，转换方向，从反面求之，兴许正是破题的捷径.因此我们考察：在什么情况下7月份会出现5个星期一？
　　由于31=4×7+3，所以当7月1日、2日或3日是星期一时，这个月都会出现5个星期一.相应地，7月1日不能是星期六、星期日、星期一.
　　同理，当7月1日是星期三、星期四、星期五时，这个月都会出现5个星期五.
　　据此，7月1日不能是星期一、星期三、星期四、星期五、星期六、星期日，也就是说，7月1日只能是星期二.
　　以上解题的思想方法，数学上称之为“反证法”.以本题为例，直接考察7月1日是星期几困难，我们转而考察这一天不能是星期几.去掉了不可能的，剩下的就是必然的.
　　这个简单的例子折射出：没有起码的数论知识，对于哪怕是一些十分简单的问题也会束手无策的.
　　题根16 三角形，向边角关系寻根
　　在一次数学课上，万老师拿来5根小木条，对同学们说：“这些木条的长度分别为4cm，8cm，8cm，10cm，12cm，用其中3根可以组成几种不同的三角形？”
　　自以为聪明的小明立即抢答：“这还不简单,可以组成3个不同的三角形. 它们的规格分别是4cm，8cm，8cm；4cm，8cm，10cm；4cm，8cm，12cm.”
　　不料，他的抢答引来一片唏嘘.“长为4cm，8cm，12cm的3根也能组成三角形？亏你想得出来！”小白在一旁插嘴.
　　“糟！我怎么会犯这么明显的错误.”小明一边自责，一边检讨,“4+8=12，不符合三角形任意两边之和大于第三边，果然不能组成三角形.”
　　可是大家还是不依不饶，七嘴八舌地嚷着：“难道长为4cm，10cm，12cm的3根就不能组成三角形？”“还有8cm，8cm，10cm;8cm,8cm,12cm
　　;8cm,10cm,12cm这三种情况呢？”小明后悔极了：一次冒失，竟犯了几个错误.
　　万老师小结道：“本题的根在哪里?在三角形边与边的关系，即任意两边之和大于第三边.别看本题简单，要想不重复、不遗漏地写出正确、完整的答案（即共6个不同的三角形）还真不容易.”

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