本书分7章,介绍数学建模基本方法、理论。具体内容包括:数学建模概述、基本方法建模、数值计算基础、微分方程方法建模、优化问题及其求解、统计分析方法、现代优化方法。另外,本书还介绍数学建模竞赛中常用的软件,包括LINGO 软件、Matlab软件、SPSS软件在数学建模中的应用。每章配有习题。
本书可作为本科生、研究生的数学建模教材,也可以作为数学建模指导教师及参赛者的参考书。
数学教育对提高普通高校毕业生的创新创业素质有着举足轻重的意义。数学建模是一门将数学与科技社会融合的桥梁性课程,集知识、能力和素质的培养与考察三位于一体。依托数学建模可以在很大程度上提高学生的创新能力,是实现培养学生思维能力和创造能力的一种有效途径。
辽宁石油化工大学自1995年开始参加全国大学生数学建模竞赛,经过20余年的努力,数学建模指导教师组已发展成为一支业务精干、充满创新探索精神的教师团队,积累了丰富的指导经验。近3年来,辽宁石油化工大学在各项数学建模竞赛中取得了优异成绩,共取得一等奖1项,二等奖23项。
辽宁石油化工大学数学建模教师团队结合多年数学建模竞赛辅导的经验,面向本科生、研究生学习和备战数学建模竞赛编写了本书。本书既涵盖了基本的数学原理,也通过对常用数学建模方法的讲解和实际问题的分析,培训学生思考、归纳、分析、创新的能力和技艺,旨在帮助学生在大学生数学建模比赛中获得好成绩。本书列举并分析比赛相关的案例,并给出算法实现的程序代码,让参赛者真正做到学以致用,而不是纸上谈兵。本书结构清晰,内容全面,适合作为普通高等学校的本科生和研究生的赛前培训教材,也可作为竞赛指导教师的参考书。
本书由潘斌、于晶贤、衣娜担任主编。辽宁省教学名师陈明明教授担任主审,全书共分7章:第1章由赵晓颖编写;第2章由潘斌编写;第3章由陈德艳编写;第4章由衣娜编写;第5章由于晶贤编写;第6章由么彩莲编写;第7章由王立敏编写。
鉴于编者水平有限,书中疏漏之处在所难免,欢迎大家批评指正,衷心希望广大读者提出宝贵的意见和建议,以便今后加以修正,使本书能不断丰富完善。
编者
2016年8月
第1 章 数学建模概述
1.1 数学模型与数学建模 1
1.1.1 数学模型 1
1.1.2 数学模型的分类 1
1.1.3 数学建模 2
1.2 数学建模的一般步骤 2
1.3 数学建模示例 4
1.4 数学建模能力培养 9
习题1 10
第2 章 基本方法建模
2.1 初等模型 11
2.1.1 桌子能放平吗 11
2.1.2 双层玻璃窗的功效 13
2.1.3 动物的身长与体重 14
2.1.4 公平的席位分配 16
2.1.5 效益的合理分配 20
2.2 简单的优化方法建模 23
2.2.1 步长的选择 24
2.2.2 实物交换与消费者的选择 25
2.2.3 库存模型 28
2.2.4 森林救火模型 30
2.3 概率方法建模 33
2.3.1 传送带的效率 33
2.3.2 报童问题 35
2.3.3 零件的预防性更换 36
2.3.4 零件的参数设计 38
2.3.5 足球门的危险区域 41
2.3.6 随机人口模型 44
2.4 马尔可夫链法建模 46
2.4.1 马尔可夫链的基本知识 46
2.4.2 有利润的马尔可夫链 51
2.4.3 案例分析 53
习题2 58
第3 章 数值计算基础
3.1 误差分析 60
3.1.1 误差的来源 60
3.1.2 误差类型 61
3.1.3 向量和矩阵的范数 64
3.1.4 误差的传递 67
3.2 插值与拟合 68
3.2.1 引例 68
3.2.2 理论基础:数据插值与拟合 69
3.2.3 用Matlab软件求解插值与拟合问题 71
3.2.4 案例分析 73
3.3 数值微分和数值积分 76
3.3.1 数值微分 76
3.3.2 数值积分 79
3.3.3 Matlab求解数值积分和数值微分 86
3.4 非线性方程求解 89
3.4.1 引言 90
3.4.2 二分法 90
3.4.3 迭代法求根 91
3.4.4 牛顿迭代法 92
3.4.5 Matlab求解非线性方程 93
3.5 线性方程组的数值解法 96
3.5.1 解线性方程组的迭代法 97
3.5.2 迭代法的收敛条件 99
3.5.3 Matlab求解线性方程组 101
3.6 常微分方程的数值解法 108
3.6.1 简单的数值方法与基本概念 109
3.6.2 龙格-库塔方法 113
3.6.3 线性多步法 115
3.6.4 Matlab求解常微分方程初值问题 117
习题3 118
第4 章 微分方程方法建模
4.1 常微分方程建模 120
4.1.1 几个简单实例 120
4.1.2 传染病模型 122
4.1.3 药物在体内的分布与排除 126
4.1.4 广告问题 129
4.1.5 经济增长模型 131
4.1.6 人口的预测 133
4.1.7 减肥计划安排问题 135
4.2 差分方程建模 139
4.2.1 抵押贷款买房问题 140
4.2.2 连续模型的差分方法 140
4.2.3 差分形式阻滞增长模型 141
4.3 稳定性方法 144
4.3.1 微分方程的平衡点与稳定性 145
4.3.2 差分方程的不动点与稳定性 146
4.3.3 捕鱼业的持续收获 148
4.3.4 种群的生存 149
4.4 偏微分方程建模 157
4.4.1 扩散问题的偏微分方程模型 157
4.4.2 期权定价模型 163
习题4 165
第5 章 优化问题及其求解
5.1 优化模型简介 167
5.1.1 优化问题的一般形式 167
5.1.2 可行解和最优解 167
5.1.3 模型的基本类型 168
5.1.4 近年国赛中的优化模型 169
5.2 运输问题 169
5.2.1 问题描述 169
5.2.2 问题分析 169
5.2.3 模型建立 170
5.2.4 模型求解 170
5.3 转运问题 172
5.3.1 问题描述 172
5.3.2 问题分析 173
5.3.3 模型建立 174
5.3.4 模型求解 174
5.4 选址问题 176
5.4.1 问题描述 176
5.4.2 问题分析 176
5.4.3 模型建立 177
5.4.4 模型求解 178
5.5 指派问题 181
5.5.1 问题描述 181
5.5.2 问题分析 181
5.5.3 模型建立 181
5.5.4 模型求解 182
5.6 最短路问题 183
5.6.1 问题描述 183
5.6.2 问题分析 183
5.6.3 模型建立 184
5.6.4 模型求解 184
5.7 最大流问题 186
5.7.1 问题描述 186
5.7.2 问题分析 186
5.7.3 模型建立 187
5.7.4 模型求解 187
5.8 最小费用最大流问题 188
5.8.1 问题描述 189
5.8.2 问题分析 189
5.8.3 模型建立 189
5.8.4 模型求解 189
5.9 最小生成树问题 191
5.9.1 问题描述 191
5.9.2 问题分析 192
5.9.3 模型建立 193
5.9.4 模型求解 193
5.10 旅行商问题 194
5.10.1 问题描述 195
5.10.2 问题分析 196
5.10.3 模型建立 196
5.10.4 模型求解 197
5.11 交巡警服务平台的合理调度研究 199
5.11.1 问题描述 200
5.11.2 问题分析 200
5.11.3 符号说明 201
5.11.4 模型一的建立与求解 201
5.11.5 模型二的建立及求解 203
习题5 204
第6 章 统计分析方法
6.1 一元线性回归分析 206
6.1.1 一元线性回归模型的一般形式 206
6.1.2 回归参数β0,β1 的最小二乘估计 207
6.1.3 回归模型的检验 208
6.1.4 回归模型的预测 210
6.1.5 案例分析 211
6.2 多元线性回归分析 214
6.2.1 多元线性回归模型的一般形式 214
6.2.2 多元线性回归模型的参数估计 215
6.2.3 多元线性回归模型的检验 216
6.2.4 多元线性回归模型的预测 220
6.2.5 案例分析 220
6.3 常用曲线估计与一般非线性曲线回归 225
6.3.1 常用曲线估计类型及线性化方法 225
6.3.2 案例分析 226
6.3.3 非线性曲线估计回归的基本原理 230
6.3.4 案例分析 230
6.4 聚类分析 234
6.4.1 聚类分析的原理及分析步骤 234
6.4.2 相似性度量 235
6.4.3 系统聚类法 238
6.4.4 快速聚类法 239
6.4.5 案例分析 240
6.5 判别分析 250
6.5.1 判别分析基本理论 250
6.5.2 案例分析 252
6.6 因子分析 259
6.6.1 因子分析模型 260
6.6.2 因子载荷的求解、因子旋转、因子得分 261
6.6.3 案例分析 263
习题6 269
第7 章 现代优化方法
7.1 遗传算法简介 275
7.1.1 基本概念 276
7.1.2 算法定义 276
7.1.3 算法特点 276
7.1.4 术语说明 277
7.1.5 发展现状介绍 277
7.1.6 一般算法 278
7.1.7 运算过程 279
7.1.8 终止条件 281
7.1.9 应用领域 281
7.1.10 基本框架 281
7.1.11 实例研究 282
7.2 粒子群算法 284
7.2.1 基本粒子群算法 284
7.2.2 带惯性权重的粒子群算法 285
7.2.3 带收缩因子的粒子群算法 286
7.2.4 改进的粒子群算法 286
7.2.5 粒子群算法的应用 289
7.3 蒙特卡罗算法 291
7.3.1 基本概述 291
7.3.2 基本思想 291
7.3.3 应用领域 292
7.3.4 工作过程 292
7.3.5 模拟计算 292
7.3.6 发展运用 292
7.3.7 一般步骤 293
7.3.8 实例研究 293
7.4 神经网络 295
7.4.1 基本介绍 295
7.4.2 基本特征 295
7.4.3 特点和优越性 296
7.4.4 发展历史 296
7.4.5 基本结构 297
7.4.6 应用实例——BP神经网络模型 297
7.4.7 分析方法 304
7.5 模拟退火算法 304
7.5.1 算法的发展过程和应用及发展前景 305
7.5.2 模拟退火模型 306
7.5.3 案例分析 307
7.5.4 模拟退火算法及过程 308
习题7 311
参考文献
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