Je tiens avant toutes choses à remercier ici le professeur 陆佳亮 pour sonaide précieuse lors de la relecture de ce polycopié. Je tiens aussi à remercier
mon ami Franz Ridde, professeur en MPSI au lycée du Parc de Lyon, qui ma fourni un grand nombredexercices.
Ce livre nest pas le cours. Il servira de support au cours, de guide et per- mettra, à ceux quile souhaitent, dapprofondir quelques sujets. Il ne sagit en aucun cas dapprendre par cur son contenu. Dailleurs,lapprentissage par cur est, en général, une mauvaise techniquedapprentissage pour les ma- thématiques, qui proposent peu de résultats, peu de notions, maisdemandent une compréhension profonde de ces notions.
Le cours est découpé en quatre parties :
espaces vectoriels sur R ou C ;
matrices et systèmes linéaires ;
déterminant ;
réduction des endomorphismes.
Les calculs et les dessins ont été, pour la plupart, effectués grce aux logiciels Wxmaxima et Python, sympy, matplotlib, outils dune très grande qualité, gratuits et fonctionnant sur tout système (Linux, Windows, Mac, Androd). Signalons aussi loutil de géométrie plane Geogebra et lexcellent Ipe qui permet dannoter en LATEX 2ε les dessins produits directement ou à laide dun autre outil.
Alain Chillès
线性代数是大学数学教育中的一门重要的基础课程。本书根据中法卓越工程师教育培养计划数学教学的要求，本着为社会发展储备未来的精英工程师的目标，并参考我们多年来在上海交通大学巴黎卓越工程师学院（学院名称于2021 年6 月15 日由上海交大－巴黎高科卓越工程师学院变更为上海交通大学巴黎卓越工程师学院）大二和大三年级线性代数课程的教学实践和改革探索的基础上编写而成。
全书共分为五章。章主要介绍了实和复线性空间，并包含了线性映射、对偶空间、超平面及应用等内容，熟练掌握章内容是后面章节学习的重要基础。第二章主要介绍了矩阵和线性方程组系统，包含了矩阵的代数运算、可逆矩阵、矩阵的换底公式、相似矩阵、矩阵的初等变换、解线性方程组系统、分块矩阵等内容。第三章主要介绍了行列式及其重要性质，通过行列式了解了矩阵与线性映射的内在联系等。经过、二、三章节的铺垫，在第四章和第五章中，我们重点介绍了自同态的约化，介绍了对角化，上三角化等多种方法，并介绍了和多项式的联系等内容。相对传统的线性代数教材，本书讨论问题的角度以及难度都有所不同。本书除配有大量的习题之外，同时还提供大量的Wxmaxima 和Python、sympy、matplotlib 代码便于同学理解和计算。
本书的出版首先感谢Alain Chillès 教授辛勤的撰写和不断反复的修改完善，其次要感谢上海交通大学巴黎卓越工程师学院数学组全体同事对初稿的认真阅读及纠错，并给予了非常宝贵的修改意见。本书的出版同时得到了上海交通大学巴黎卓越工程师学院的鼎力支持，在此深表谢忱！
由于编者水平有限，不妥甚至错误之处再所难免，欢迎广大读者给予批评指正。
吉宏俊
1 Espaces vectoriels sur R ou C 1
1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Sommes de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.4 Sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.5 Supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.6 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.7 Dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.2.2 Images et noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.2.3 Projecteurs et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.2.4 Cas particulier de la dimension finie . . . . . . . . . . . . . . 52
1.2.5 Factorisation des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . 59
1.3 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.3.1 Étude du dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.3.2 Hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.4.1 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.4.2 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 88
1.4.3 Fonctions spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 92
2 Matrices et systèmes linéaires
2.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.1.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.1.3 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.1.4 Matrices diagonales, matrices triangulaires . . . . . . . . . . . 121
Algèbre linéaire
2.1.5 Trace dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
2.1.6 Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.1.7 Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.1.8 Noyau, image et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.2 Relations déquivalence et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.2.1 Relations déquivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.2.2 Équivalence et similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
2.3 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.3.1 Algorithme du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.3.2 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2.4 Matrices-blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
2.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
2.4.2 Utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
2.4.3 Produit de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3 Déterminant 180
3.1 Permutations et groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.2 Formes p-linéaires sur un espace vectoriel de dimension n . . . . . . 184
3.3 Déterminant dune famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.4 Déterminant dune matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3.5 Déterminant dun endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.6 Méthodes de calcul de déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.7 Un peu de géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
3.8 Retour sur les systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4 Réduction des endomorphismes 222
4.1 Éléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.2 Polynme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
4.3 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
4.4 Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
244
4.5 Réduction simultanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
4.6 Applications de la réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
4.6.1 Systèmes linéaires récurrents à coe?icients constants . . . . . 255
4.6.2 Systèmes linéaires différentiels à coe?icients constants . . . . 266
4.6.3 Espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
5 Compléments sur la réduction des endomorphismes 280
5.1 Polynmes dendomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Table des matières
5.1.1 Polynmes dendomorphisme et polynmes annulateurs . . . 280 5.1.2
Le lemme des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
5.1.3 Polynme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
5.1.4 Théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
5.1.5 Retour sur le calcul de puissances de matrices . . . . . . . . . 290
5.2 Topologie sur les endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.3 Décomposition de Dunford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
5.4 Commutant et réduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.5 Résolution déquations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
5.6 Invariants de similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
5.7 Un exemple dutilisation de la réduction sur un corps fini . . . . . . 357
Définitions 360
Théorèmes 362
Commandes Wxmaxima 363
Commandes Python 365
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