《量子信息简明教程》从量子力学与信息论的基础出发，系统且完整地介绍了量子信息领域的基础知识，包 括量子信息科学所需的线性代数与信息论数学基础、量子系统的基本描述与一般描述、量子系统中的现象与应用，以及量子信息论与量子纠缠的初步介绍。此外，《量子信息简明教程》还涵盖了一些近期量子信息领域研究方向的发展。《量子信息简明教程》可作为量子信息专业的基础课程或物理专业的通识课程教材使用。

《量子信息简明教程》基于作者10多年姚班教学积累而成，系统且完整地介绍了量子信息领域的基础知识，可为进一步了解甚至进入量子信息前沿领域研究打好基础。

19世纪末，物理学界普遍认为基本的物理原则已被牢固地建立起来，物理学的未来要在小数点的第6位找到。但在解释黑体辐射的紫外灾变问题时，普朗克的能量量子化却颠覆了传统的统计力学理论，由此引出了物理学的新篇章量子力学。量子理论无论在解释微观物理现象还是工程应用上都迅速发挥了巨大作用，激光的发明和大规模集成线路的应用更是让量子这一概念深入人心。尽管量子理论与我们所观测的物理现象高度吻合，但在如何理解其基本原理这一问题上，却始终存在着巨大的争论。其中最有名的，是爱因斯坦和玻尔对物理测量是否可以产生不可预测随机性的世纪之争。随着贝尔不等式的提出及其实验验证，今天大部分人接受了量子力学及其蕴含的内禀随机性。当然，经典力学，包括牛顿力学和麦克斯韦的电磁方程，在很多情况下，特别是对许多宏观物理现象的解释中，依然是非常好的一个近似。
20世纪科技领域另外一件大事是计算机的发明和信息技术的发展。理论方面，图灵、冯·诺依曼建立起了通用计算任务的数学模型，明确了可计算与不可计算任务的分界线；香农将信息的概念从具体的文字、图像、声音中抽象为概率与信息熵；在对复杂动力系统的研究过程中，人们又逐渐建立了计算复杂性、通信复杂性的概念。与此同时，硬件制造上的突飞猛进也支持了信息技术的高速发展。随着半导体工艺、存储技术、光纤等的不断迭代更新，早期庞大、低效、单一的电子管计算机已经发展成了小型、高速、可以通过互联网连接的计算网络。无须多言，计算机与信息技术的力量已经深入生产生活的各个方面。
在量子力学和信息技术的发展过程中，人们逐渐意识到，信息是物理的，物理也是信息的，可以利用量子力学的手段来处理信息。在计算领域，这一可能性最早由苏联数学家马宁与美国物理学家费曼等人意识到。为了分析许多复杂的物理过程，比如黑洞的动力学演化，与其用电子计算机离散地求解方程，不妨将其自然地对应到相似的物理过程，比如凝聚态物理中的现象，直接用这一量子过程进行模拟计算。同一时期，在通信与密码领域，人们注意到利用量子力学的内禀随机性，可以实现量子密钥分发等具有信息论安全性的隐私通信这在经典世界甚至是完全不可能的！随着研究的深入，人们逐渐发掘出基于量子原理进行安全信息传输的巨大潜力，发现了具有指数加速的量子算法，超越仅用经典物理过程进行精密测量的精度，等等。于是，量子信息科学这个交叉领域应运而生，并渐渐成为计算机科学与物理学的重要分支。你能听到计算机科学家们在讨论量子复杂性、量子货币，也能看到物理学家们在研究黑洞信息熵、量子人工智能。2022年的诺贝尔物理学奖授予了三位在贝尔不等式、量子纠缠等方向做出了开创性研究的物理学家，以表彰他们为奠定量子信息科学基础的重要贡献。量子信息无疑是近年来最火爆、最有活力的科学研究方向之一。
不止是理论研究本身，经过四十余年的发展，关于量子信息的一些初期理论构想、实验演示，现在已经成为快速发展的新兴产业。近期，谷歌、中国科学技术大学等团队展示了量子优越性，验证了量子计算相比于经典计算的优势；我国与欧盟多国之间已经建成了天地一体化的洲际量子通信网络。大量量子信息相关企业也陆续成立，国内的国盾量子、问天量子，国外的MagiQ、ID Quantique、Xanadu、Rigetti Computing等，都得到了投资人的青睐。而老牌的互联网和计算机硬件公司，谷歌、IBM、亚马逊、腾讯、阿里、百度等，也都不甘落于人后，纷纷成立了自己的量子实验室。一些量子应用，比如量子密钥分发、量子随机数产生、量子精密测量，不仅已经有了相对成熟的商业化产品，相关的标准化工作也已开始推进，为进一步的产业化铺垫道路。
在前沿研究之外，现在国内外许多一流高校、研究所已经开设了大量量子信息相关课程，作者在清华大学也已开展了近十年的量子信息教学。2021年，在我国新增的高校本科专业中，就包含了量子信息科学。在此背景下，系统且兼具前沿性的量子信息教学变得愈发重要。从20世纪90年代开始，国际上陆续有不少很好的量子信息方面的教材，国内的一些学者也引入了这些教材，并进行了很好的翻译。然而，在本书作者参与大学课程教学的时候发现，这些教材大多并不适合一学期的教学，特别是为初学者入门使用。经过近十年教学的积累，我们把相关的课件整理，形成了这一本书。这里，我们主要介绍量子信息科学的基本概念，而不深入讨论量子密码学、量子计算等专业方向知识。希望这样一本书可以作为理工科大学量子信息教材或者参考书，在大约一学期的课程时长内帮助同学们掌握量子信息理论的基础，扫清他们进一步了解甚至进入量子信息前沿领域研究的知识障碍。同时，也希望本书可以作为一本自学的书籍，特别为具有一定线性代数背景且对量子信息感兴趣的读者，能够帮助他们了解一些在文献阅读中可能会碰到的量子信息的专业术语与概念。
在本书的内容安排上，我们在第0章首先介绍必要的数学知识，以及量子信息领域内常用的符号表示，包括量子力学基本描述、线性代数、概率论、香农信息论基础等内容。对这些内容熟悉的读者，可以很快地浏览相关内容，然后进入对量子信息知识的学习中。在本书的主体部分，我们依次介绍量子系统的基本描述、量子系统的一般描述、一些有趣的量子现象和应用、量子信息论初步。具体而言，
（1）在第1章，通过单体量子系统，说明在量子力学中如何表示一个物理系统，给出可观测量的定义及封闭系统演化的数学描述，在此基础上，介绍实验中确定量子态的基本方法，以及说明量子力学所给出的信息守恒规律。
（2）在第2章，将考虑更为一般的多体量子系统，在对子系统的描述过程中，将引入必要的统计力学方法------密度矩阵，以及偏迹等数学运算，并由此给出最一般量子态的定义及性质；此外，也将给出最一般的测量过程、量子操作、量子系统演化的定义。
（3）在第3章，将综合运用第1章和第2章的内容，研究三种有趣的量子现象和应用：贝尔不等式、量子密集编码、量子隐形传态。通过这些内容，我们将更加深刻地认识到量子力学和经典力学之间的差异，并初步感受到量子力学在信息传输方面的价值。
（4）在第4章，将初步介绍量子信息论。我们首先将香农信息论中信息熵的概念推广到量子世界中。量子信息熵相比于经典信息熵有许多不同之处，导致这些差异的一个重要原因是量子纠缠，对此我们将简单介绍量子纠缠的一些核心概念。最后，将初步介绍量子通信与编码，并给出系统性研究此问题的框架。
若读者拥有良好的线性代数基础，大多数内容通过学习本书前序知识，便可以无障碍地逐渐深入。有些章节难度较高，或需要额外的前置知识帮助理解，对这些内容，我们用星号予以标注。在第一次学习或基础课程讲解时，可以跳过这些内容。此外，我们对每章内容都配以一些习题，鼓励读者们进行适当的练习，以巩固所学内容。
这里，我们要特别感谢过去这些年作者开展量子信息相关课程时的助教们：袁骁、张振、赵琦、彭天翼、周泓伊、曾培、陈森睿、吴蔚捷、张艺泓、唐一凡、余文峻、刘振寰、鄢语轩、陈俊杰、张辰逸、刘国定、刘鹏宇。他们很大程度上参与了课件底稿的准备。事实上，两位作者张行健和黄溢智做过多次相关课程的助教。同时我们也非常感谢参与这些课程的同学们的反馈。正是来自他们提出的很好的问题和关于教学的反馈，使得我们的教材能够更加全面、易读。

马雄峰，2003年毕业于北京大学并获得学士学位，2008年于多伦多大学获得博士学位。2012年加入清华大学交叉信息研究院，现任博士生导师，长江学者。主要研究兴趣在量子信息科学，特别专注于量子密码、量子计算和量子基础。担任Optica、PRL等学术期刊的副主编及编委会成员。根据1992年至2019年全球出版物的科学计量评估，ResearchGate将其评为全球在量子密码学领域最具影响力的研究者之一。
张行健，2018年毕业于南开大学电子信息与光学工程学院获得学士学位，2023年在清华大学交叉信息研究院取得博士学位。研究兴趣包括量子密码、设备无关量子信息处理、量子资源理论等。
黄溢智，2019年毕业于南京大学物理学院获理学学士学位，现于清华大学交叉信息研究院攻读物理学博士学位，研究兴趣包括量子密码、量子通信等。

第0章 线性代数与经典信息论基础 1
0.1 数学记号 1
0.2 希尔伯特空间表示 2
0.2.1 狄拉克符号 2
0.2.2 希尔伯特空间 3
0.2.3 射线 4
0.3 矩阵运算 5
0.3.1 矩阵基本运算 5
0.3.2 直和与张量积 9
0.3.3 偏迹 11
*0.3.4 张量网络 13
0.3.5 方阵的解析函数 15
*0.3.6 一般矩阵的解析函数 18
0.4 经典信息论简介 21
0.4.1 香农熵 21
0.4.2 数据压缩 22
0.4.3 其他的熵形式信息量 28
0.4.4 信道编码 29
0.4.5 Rényi熵 31
习题 33
第1章 量子系统的基本描述 35
1.1 量子纯态 35
1.1.1 量子态空间与态叠加原理 35
1.1.2 量子比特 36
1.1.3 复合系统 38
1.1.4 量子态的密度矩阵表示 39
1.1.5 实际物理系统 40
1.2 测量 41
1.2.1 可观测量 41
1.2.2 投影测量 43
1.3 幺正变换 45
1.3.1 量子演化的数学表示 45
1.3.2 典型幺正矩阵 46
1.3.3 高维幺正变换 48
1.4 确定量子态 53
1.4.1 布洛赫球面 53
1.4.2 量子比特基 55
1.4.3 量子层析术 56
1.5 量子信息守恒 58
1.5.1 量子不可克隆定理 58
1.5.2 量子不可删除定理 60
1.5.3 不存在通用的非门 61
习题 63
第2章 量子系统的一般描述 66
2.1 两体量子纯态 66
2.1.1 两体量子系统与量子态 66
2.1.2 施密特分解 68
2.1.3 有趣的悖论 69
2.2 一般态 70
2.2.1 从偏迹到子系统的密度矩阵 70
2.2.2 纯态的混合 73
2.2.3 混态的纯化 76
2.2.4 混态的布洛赫球表示和量子层析 79
2.2.5 量子态距离的度量 81
2.3 一般测量 82
2.3.1 正定算子测量 82
2.3.2 Naimark 定理 85
2.3.3 量子仪器 87
2.3.4 联合测量和贝尔态测量 88
2.4 一般的量子操作 88
2.4.1 量子信道 89
2.4.2 主方程 92
2.4.3 Stinespring延拓 93
2.5 带有噪声的量子演化 94
2.5.1 随机幺正演化导致的演化过程 94
2.5.2 信息丢失导致的演化过程 96
2.5.3 去极化信道 97
习题 99
第3章 有趣的量子现象和应用 103
3.1 贝尔不等式 103
3.1.1 从EPR佯谬到贝尔定理 103
3.1.2 Clauser-Horne-Shimony-Holt不等式 106
3.1.3 非局域博弈 110
3.1.4 贝尔实验的漏洞 113
3.1.5 CH不等式和Eberhard不等式 115
3.2 量子密集编码 118
3.2.1 基本编码 118
3.2.2 量子密集编码 119
3.3 量子隐形传态 121
3.3.1 纯态的传输 121
3.3.2 纠缠交换 123
3.3.3 远程态制备 125
3.3.4 使用隐形传态来进行操作 127
习题 130
第4章 量子信息论 133
4.1 量子熵 133
4.1.1 冯·诺依曼熵 133
4.1.2 量子相对熵 135
4.1.3 其他的量子熵 137
*4.1.4 熵函数的公理化推导 140
4.2 量子纠缠初步 141
4.2.1 可分态与纠缠态 141
4.2.2 纠缠度量 147
4.2.3 一些常用的纠缠度量 149
4.3 量子通信与编码 152
4.3.1 量子无噪声编码定理 152
4.3.2 可获取信息与Holevo信息 156
*4.3.3 信道容量简介 159
习题 164
参考文献 169
索引 172
Index 175