我国古代不少数学家以诗歌抒怀，他们把自己钟爱的、珍珠般的数 学名题以及博大精深的数学思想方法，编成耐人寻味的诗词、口诀和歌 谣。《古算诗题探源》精选出其中的140多首进行诠释，译为白话，给出古今解法! 探究来由（特别是源头），纵横联想，巧妙引申，并以充满情趣的生动 描写、蕴含哲理的精辟议论使一些深奥的数学名题变得通俗易懂、生动 有趣，给人以丰富的数学知识和启迪，激发读者对数学的兴趣。

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《古算诗题探源》可供大中学校师生课外阅读，可作为数学史教学参考，也可供数学史和文化史爱好者阅读。

　　徐品方，1935年生，四川西昌市人。1958年毕业于四川师范大学数学系。四川西昌学院副教授，四川师范大学兼职教授中国数学学会及数学史分会会员，凉山州老科技工作者协会副会长，凉山州数学会秘书长。编著出版数学教育和数学史著作20部，发表论文70余篇。主要著作有《白话九章算术》、《数学趣话》、《女数学家传奇》、《笛卡儿》、《秦九韶的数书九章》、《教育科技新探》、《世界大发现(物理卷)》，主编的《数学简明史》作为大学数学史教材。

　　张景中 院士是我国著名数学家、计算机专家，曾任中国科普作家协会理事长。他的不讲数学理论只讲数学思想，用日常生活中的浅显事例，向青少年普及数学的创作手法，是我国数学科普创作的一大飞跃。他的数学科普作品，不同于一般的科普读物，它不是简单的材料收集乖¨整理，而是一个站在科学前沿的学者的真知灼见。因此，他写的科普读物高屋建瓴，常有画龙点睛，令人叫绝之笔，多年以来，喜欢数学的读者无不渴望得到他的作品。张景中院士的科普作品是中国数学科普的旗帜，是中国数学科普最高水平的标志。

　　01算术部分
　　1.1纳税算账本书所有诗词的标题，大都是著者自己加的，大部分原著文没有标题。
　　昨日街头干事毕，
　　闲来税局门前立。
　　见一客持三百布，
　　每疋必须税二尺。
　　贴回铜钱六百文①，
　　收布一十五半疋。
　　不知每疋卖几何，
　　只言每疋长四十②。
　　——程大位《算法统宗》
　　【注释】①古代1贯=1000文。②这里1疋=40尺。
　　【译文】昨天街上办完事，慢悠悠地走到税务部门前停下来。看见一客商持300疋布前来纳税，按规定每疋布必须上税2尺。税局收去15疋半布作税款。因多收了布，税局补给他铜钱600文。已知每疋布长40尺，请问每疋布价多少钱。
　　【解法】依题意可知
　　应纳税：300×2=600（尺）
　　税局实收布：15.5×40=620（尺）
　　税局多收布：620-600=20（尺）
　　每尺布价：600÷20=30（文）
　　每疋布价：30×40=1200（文）
　　答：每疋布价1200文钱，即一贯二百文。
　　【探源】这是一首经商纳税诗题。
　　两汉史籍中有关纳税的资料很少。古代最早算书《算数书》（公元前2世纪）中有2题“弧出关”和“负米”反映秦或更早时候征收关税问题；《九章算术》（公元前1世纪）中有4道题（衰分章第3题，均输章第15，27，28题）反映汉朝向商人征收关税的问题。资料虽少，但很宝贵。
　　这诗题不是从古算书算题改编而来的，根据可能是当时人们经商纳税的情况。故诗题反映了纳税或征收赋税的实际情况。可知明代卖布税率为5%，看来税赋不重。
　　“算”字的起源
　　中国的“算”字有三种写法：筭、算、祘。对这几个字，我国辞典始祖东汉许慎在《说文解字》（成书于公元100年）里作了如下解释：
　　“筭，长六寸，计历数者。从竹从弄，言常弄乃不误也。”这就是说，“筭”（音算，ｓｕàｎ）字是一种六寸长的竹制计算工具，古称“算筹”（用小竹棍等制成）。这个字是由“竹”和“弄”两字合成的，经常摆弄它便可使计算正确无误。
　　“算，数也。从竹从具，读若筭。”许慎的意思说，“算”是计算数目的，读法和“筭”完全相同。
　　“祘”字的出现比较晚，它是由两个“示”字合成的。许慎解释说：“示，神事也。”这就是说，“示”字有“指示、表示、透露”等象神的显示一样的意思。因为上部“二”是古文的“上”字，下部古为三竖（后来演变成一竖两点的“小”字），表示日、月、星。神的显示是从上面下来的。从鬼神的字表明，也多用示（礻）字旁。
　　显然，古人把“祘”和计算，都与迷信纠缠在一起，与科学背道而驰，不足为训。
　　“算”字的象形字起源于什么时候？在甲骨文（在龟甲或兽骨上镌刻成的文字）或金文（周朝时的文字，铸在青铜器上的文字，又叫钟鼎文）中从未发现过这个字。据当代英国著名科学史家李约瑟（J.Needhan，1900～1995）认为，它的出现年代可能在公元前3世纪。
　　图1-1“算”的古体字
　　事实上，“算”字的最早古体字有三种写法，见图1-1。“算”字上面是竹的形象，表示着竹制算具。下面为双手捧着贝币（殷周时用贝做货币）。故我国“算”字的意思就是以算具进行记数、计算、卜卦的技术或学问。
　　在希腊，“计算”一词的本意是“石子”、“沙盘”，原意是“沙子”。这反映了古希腊人与中国不同的是不用竹做算具，而是用石子计数或在沙盘上划道运算。
　　1.2鱼儿有几
　　三寸鱼儿九里①沟，口尾相衔②直到头。
　　试问鱼儿多少数，请君对面说因由。
　　——梅瑴成③《增删算法统宗》
　　【注释】①关于里、步长度的大小随朝代不同。周代1步=8尺。秦汉至南北朝1步=6尺，1里=300步；《汉书?食货志》载：1里=300步，
　　1步=6尺。《九章算术》就用此，简称秦汉制。约从隋唐改为1步=5尺，1里=360步。这是旧制以营造尺。②衔，用嘴含。③瑴，音决，jué。
　　【译文】3寸长的一群小鱼儿，它们口尾相接在河里游玩，从头到尾排成了9里长。试问这群鱼儿有多少条？请说出你推算的理由。
　　【解法】因为1里=360步（唐代以后度量衡）
　　所以9×360=3240（步）
　　因为1步=5尺=50寸
　　所以3240×50=162000（寸）
　　所以162000÷3=54000（条）
　　答：这群活泼可爱的小鱼儿共有5.4万条。
　　【探源】诗言志，歌抒情，数学诗题很迷人。这道朗朗上口的数学诗题仿佛把我们带到了孩提时代观赏游鱼的趣景，回味之余，油然而生要探讨追溯这道诗题源头的想法。经查，古算家是根据古算《孙子算经》（公元4世纪）卷下第32题改编的。古代儒家把重要的经典著作称为“经”，“数学”叫做“算”，所以把重要的数学著作称为“算经”。第32题是：“今有九里渠，三寸鱼，头头相次。问鱼得几何？答曰：五万四千。术曰：置九里，以三百步乘之，得二千七百步。又以六尺乘之，得一万六千二百尺。上十之，得一十六万二千寸。以鱼三寸除之，即得。”
　　读者不难发现，这道诗题完全与《孙子算经》第32题一样，数据、答案一致。当然，不同之处是术文（解法）中使用的度量衡是秦汉制，即1里=300步，1步=6尺。
　　“算术”的起源
　　算术是研究数与数集上的运算的数学分支。算术是最古老的数学分支之一，是数学的起点。
　　算术的产生可追溯到史前时期，如美索不达米亚（今伊拉克的一部分）和古埃及等在公元前30～前20世纪就产生了简单的算术知识。
　　古希腊人正式提出的“算术”，实质是数论（研究数的规律，特别是研究整数性质的数学分支），因为他们曾把数分为“数目学”（即数论）和“计算术”（与今算术意义差不多）。但是，希腊人的“数目学”与哲学相关，备受哲学家器重，而“算术”（计算术）却被另眼看待，讥为“低下技术”，备受轻视。这使得希腊算术的成就不及几何和数论。
　　在我国，“算术”二字至迟在汉代已经常用了，例如，《前汉书?律历志》记载筹算中有：“其法在算术，宣于天下”。在古算书上，西汉末年（约公元前1世纪）曾有过《许商算术》和《杜忠算术》，可惜早已失传。但正式使用、留传至今的这一术语最早见于《九章算术》（公元前1世纪），而算术内容更早出现在1983~1984年出土的《算数书》（公元前2世纪）中。我国古代“算术”指整个数学，即数学的总称，但它与现代算术意义是不同的。
　　在西方，“算术”一词的拉丁文“Arithmetica”来自希腊文“αριθμητικ η”，原意是数（ｓｈǔ）和数（ｓｈù）的技术（或学问），这就是说，西方人的“算术”指有关数的运算方法和技巧，不包括代数、几何等内容，与我国泛指全部数学不同。
　　1.3苏武流放
　　当年苏武①去北边②，
　　不知去了几周年。
　　分明记得天边月，
　　二百三十五番圆③。
　　——程大位《算法统宗》
　　【注释】①苏武（约公元前140～前60年）是汉朝一位官员，天汉元年（公元前100年）被派往匈奴出任使者，因其他事牵连，被匈奴统帅单于扣留，并叫他投降，苏武誓死不从。单于把他流放到北方海边无人居住的地方，让他饲养公羊，叫他等到公羊生了小羊以后再回来。这哪是可能的？显然是将他终年流放。单于断绝供应一切粮草，苏武只好挖掘野鼠所储藏的草籽来吃。后来汉朝与匈奴和亲，苏武才从荒野被接回汉朝。由于他节操卓著，被尊称为“祭酒”（年高望重者），又被封为典属国。公元前60年，苏武病逝。②北边，指今天贝加尔湖畔的大城市——伊尔库茨克一带。③关于月亮圆缺是指人们在地球看到月亮表面发亮部分的形状，这在天文学上叫做月相。主要的月相有4个：朔、上弦、望、下弦。朔日（农历每月初一），地球上看不到月光；上弦（农历每月初七或初八）和下弦（农历每月廿二或廿三），地球上看到的月亮是月牙形；望日（农历每月十五日，有时是十六或十七日），地球运行到月亮和太阳之间，这天太阳从西方落下去的时候，月亮正好从东方升上来，地球上看见的是圆月。1年=12月，“二百三十五番圆”即235个月。
　　【译文】当年苏武流放到北方牧羊，不知去了多少周年，只记得天边的月亮，已经出现过235次圆月了。
　　【解法】据注可知，这是一道简单除法问题，
　　235÷12=19712=19 7
　　余7为闰月，因为依我国农历，19年应有7个闰月。故答案不能是19年零7个月。
　　答：苏武去北方已经有19周年。
　　【探源】这道诗题可能是古算家根据历史人物改编的趣诗，不是从古算书算题改编的。
　　程大位《算法统宗》
　　读者从本书开篇，就知道程大位的名字，但对他的经历、治学及成就不太了解了。
　　程大位（1533～1606）
　　程大位（1533～1606）字汝思，号宾渠我国古人幼有名（指幼年时起的乳名，只供长辈们呼唤），长有字（指20岁时加的字，供一般人称呼）；有的还有号，即别号。，明朝安徽休宁县屯溪镇前园村（今黄山市屯溪区前园村）人。程大位读书很广博，自幼爱好数学。常“不惜重资，以购求遗书”，“迂方田、粟米、差分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股诸书，辄厚资购得之”。20岁左右在长江中下游地区经商，利用经商机会“邀游吴楚，博访文人达士”，遇有“睿通数学者，辄造请问难，孳孳（即孜孜）不倦”。程大位小商人家，一生从未应科举之试。就是在经商时他仍不忘对数学的研究，到处求师访书，搜罗了很多古代与当时的数学书籍及民间数学资料。有空就读书、写心得体会，经过自己咀嚼、消化，开始进行著述。他博采众长，大约在他40岁那一年，开始对旧的如1368年前元末安止斋、何平子合著《详明算法》类型的数学书进行修改，对吴敬《九章算法比类大全》（1450）进行删补，并涉猎大量的数学资料，直到他进入60岁花甲那一年（1592），才完成了他的杰作《直指算法统宗》十七卷共595个问题。解题时以算盘作为计算工具进行演算，与传统的用筹（长短不等的小竹棍或骨制成）计算不同。继后，他又对《算法统宗》“删其繁芜，揭其要领”，约束为《算法纂要》四卷，与十七卷本先后在屯溪刊行。
　　《算法统宗》是我国第一部最完善、系统的珠算说明书，也是一本比较完整、全面的应用数学书，它的内容包括了清代经学家所推崇的《九章算术》，既符合民间工、农、商业的需要，也适用于数学知识并不很丰富的一般经学人士的需要，所以《算法统宗》在国内能得到广泛和长久的流传。公元1716年，程大位的族孙程世缓为翻刻这部书所写的序中说：“风行宇内，迄今盖已百有数十余年。海内握算持筹之士，莫不家藏一编，若业制举者之于四子书、五经义、翕然以为宗”（大意是说，这本书出版以后，风行国内一百几十年，凡是研究算法的人，几乎人手一册，就像考科举的人对待《四书》、《五经》一样，奉为经典）。该书在国内外影响很大，曾流传到朝鲜、日本等国。日本珠算就是在程大位影响下发展起来的。
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